初中数学 · 动态几何实验室

反比例函数 k 的几何意义（单 k 单点型）

曲线上任一点向两轴作垂线 —— 围出的矩形面积竟然恒等于 |k|

S_矩形 = |k| ｜ S_三角形 = |k| / 2 与点位置无关

模型同源真题 2024·山东济南 ★★★☆☆

如图，点 P 在反比例函数 y = k/x 的图象上，过 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形面积为 8。则 |k| = ______。

实验台 · y = k/x 上的矩形与三角形

拖 P 沿双曲线滑动，拖右侧绿色滑杆改 k —— 青色矩形、金色三角形，面积怎么都不动？

◈ 实时观测

k（象限）—

P 坐标—

|x| · |y|—

S 矩形—

S 三角形—

S矩形 = |k| ✓

S矩形 = |k|，S三角形 = |k|/2

P(x, y) 在 y = k/x 上 ⇒ xy = k ⇒ 矩形面积 |x|·|y| = |xy| = |k| —— 位置随便动，面积钉死不动

口诀：矩形 |k| 三角半，符号只看象限判

实验台 · 三点同 k 面积对比

A、B 在同支上各构矩形，C 在另一支构三角形 —— 三个点随便拖，三个面积的关系是？

◈ 实时观测

k—

S矩形（A 青）—

S矩形（B 粉）—

S三角形（C 金）—

关系—

S_A = S_B = |k|，S_C = |k|/2

同 k 同面积，与位置无关

不论点滑到曲线的哪个位置、哪个分支 —— 矩形面积恒为 |k|，三角形面积恒为 |k|/2

口诀：点动面积不动，|k| 永远在线

中考真题（冲刺）

围绕「S矩形 = |k|，S三角形 = |k|/2」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★☆☆☆☆

2023·湖南

如图，P 是反比例函数 y = 6/x 图象上一点，PE ⊥ x 轴于 E，PF ⊥ y 轴于 F，则矩形 PEOF 的面积是（　）

A．3

B．6

C．12

D．无法确定

答案：B（6）

S矩形 = |k| = |6| = 6。不需要知道 P 的具体位置 —— 这正是 k 的几何意义。⚠️ 选 A 的同学把 |k|/2 记成了 |k|，选 C 的同学多乘了 2 —— 矩形是 |k|，三角形才是 |k|/2。

第 2 关填空题绝对值陷阱 ★★☆☆☆

2023·湖南

P 是反比例函数 y = −8/x 图象上一点，向两轴作垂线围成矩形，其面积为 ______。

答案：8

S矩形 = |k| = |−8| = 8。⚠️ 面积没有负数 —— k 为负只是说明图象在二、四象限，面积取的是 |k| 不是 k。

第 3 关填空题反求 |k| ★★☆☆☆

2023·湖南

如图，P 是 y = k/x 图象上一点，PE ⊥ x 轴于 E。若 △POE 的面积为 4，则 |k| = ______。

答案：|k| = 8

S△ = |k|/2 = 4 ⇒ |k| = 8。三角形 ↔ 矩形是 2 倍关系：给三角形面积要 ×2，给矩形面积要 ÷2 —— 方向别搞反。

第 4 关填空题定符号 ★★★☆☆

2023·湖南

如图，P 是反比例函数 y = k/x 图象第二象限分支上一点，围成的矩形面积为 12，则 k = ______。

答案：k = −12

面积给的是 |k| = 12；第二象限 ⇒ k < 0 ⇒ k = −12。面积定大小，象限定符号 —— 两步缺一不可。

第 5 关解答题说理 ★★★☆☆

2023·湖南

P 是 y = k/x（k ≠ 0）图象上任意一点，向两轴作垂线围成矩形。请说明：该矩形的面积与点 P 的位置无关。

说理（代数恒等）

设 P(x, y)，∵ P 在 y = k/x 的图象上，∴ xy = k。
矩形的长 = |x|，宽 = |y| ⇒ S矩形 = |x|·|y| = |xy| = |k|。
结果中不含 x —— 与 P 的位置无关，只由 k 决定。证毕。

第 6 关探究题三点连问 ★★★★☆

2023·湖南

如图，反比例函数 y = 4/x。
（1）点 A(1, 4) 处围成的矩形面积为 ______；
（2）点 B(2, 2) 处围成的矩形面积为 ______；
（3）点 C(−2, −2) 处围成的三角形面积为 ______。

(1)

(2)

(3)

答案：（1）4（2）4（3）2

（1）|1 × 4| = 4；（2）|2 × 2| = 4 —— 位置不同，面积相同；（3）C 在第三象限，|k| 不变：S△ = |k|/2 = 2。矩形 |k| 三角半，符号只看象限判。