中考真题（冲刺）
围绕「对角画圆弧 · 九十直径圆 · 相交弦定理」· 做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关单选题直径圆★☆☆☆☆
2024·中考专项训练
A(−2, 0)，B(3, 0)，点 P 在 y 轴上，且 ∠APB = 90°，则满足条件的点 P 有（ ）
答案：B（2 个）
∠APB = 90° ⟺ P 在以 AB 为直径的圆上：圆心 (0.5, 0)，r = 2.5。与 y 轴联立：0.25 + h² = 6.25 ⟹ h = ±√6，两个点。
⚠️ 易错：圆心横坐标是 0.5 不是 0 —— 中点先算对，再联立。
第 2 关填空题一般圆弧★★★☆☆
2024·中考专项训练
A(−2, 0)，B(3, 0)，点 P 在 y 轴上，且 ∠APB = 60°，则满足条件的点 P 有 ______ 个。
答案：2
d = 2.5，r = d/sin 60° ≈ 2.887，圆心 (0.5, ±1.443)。两圆各与 y 轴交 2 点共 4 个交点，但实测张角为 60° 的只有 (0, ±4.286) —— 另两个张角是 120°（同圆另一段弧）⟹ 2 个。
⚠️ 易错：圆与 y 轴的 4 个交点里一半是「补角弧」上的点（张角 180°−α）—— 必须逐点验角，不能数完交点就收工。
第 3 关填空题相离无解★★☆☆☆
2024·中考专项训练
A(0, 0)，B(4, 0)，点 P 在直线 x = 5 上，且 ∠APB = 90°，则满足条件的点 P 有 ______ 个。
答案：0
直径圆：圆心 (2, 0)，r = 2。圆心到直线 x = 5 的距离 d = 3 > r ⟹ 相离，0 个。
⚠️ 易错：存在性先看 d 与 r —— 没交点就别硬解方程，判别式小于零同样说明无解。
第 4 关填空题相切退化陷阱★★★★☆
2024·中考专项训练
A(0, 0)，B(4, 0)，点 P 在直线 x = 4 上，且 ∠APB = 90°，则满足条件的点 P 有 ______ 个。
答案：0
圆心 (2, 0)，r = 2，d = |4−2| = 2 = r ⟹ 相切，唯一切点 (4, 0) —— 但它就是 B 本身，P 与 B 重合不成三角形，退化舍去 ⟹ 0 个。
⚠️ 易错：「相切 1 个」想当然写 1 —— 切点恰为端点时全体归零。存在性题的退化检查永远在交点之后。
第 5 关解答题圆周角定理★★★★☆
2024·中考专项训练
请说明：为什么「∠APB = α（α 为定值）」的点 P 的轨迹是以 AB 为弦的两段圆弧，并写出半径 r 与 |AB|、α 的关系。
说明（圆周角定理及其逆用）
过 A、B、P 作圆，圆心为 C。圆周角定理：∠APB = α ⟺ 弧 AB（不含 P 的一侧）的圆心角 ∠ACB = 2α（P 在优弧上时取 360°−2α 同理）。圆心角固定 ⟹ 圆心 C 在 AB 中垂线上且位置固定 ⟹ P 在这段弧上变动时张角恒为 α；AB 下方对称还有一段。
弦长公式：|AB| = 2r sin α ⟹ r = |AB|/(2 sin α)。
⚠️ 易错：α 与圆心角是 2 倍关系不是相等；α = 90° 时 sin α = 1，r = |AB|/2，正是直径圆。
第 6 关探究题相交弦定理★★★★★
2024·中考专项训练
A(−1, 0)，B(2, 0)，点 P 在 y 轴上。
（1）当 ∠APB = 90° 时，满足条件的点 P 有 ______ 个；
（2）此时 OP² = ______；
（3）当 ∠APB = 45° 时，满足条件的点 P 有 ______ 个。
(1)
(2)
(3)
答案：（1）2（2）2（3）2
（1）直径圆：圆心 (0.5, 0)，r = 1.5 ⟹ 0.25 + h² = 2.25 ⟹ h = ±√2，2 个；
（2）OP² = h² = 2 —— 正是相交弦定理：OP² = OA·OB = 1×2（直径圆与 y 轴两交点 P₁P₂ 是被 y 轴平分的弦，OA·OB = OP₁·OP₂ = OP²）；
（3）α = 45°：r = 1.5/sin 45° ≈ 2.121，圆心 (0.5, ±1.5)，两圆与 y 轴 4 个交点中张角为 45° 的是 (0, ±3.562) ⟹ 2 个。
⚠️ 易错：相交弦定理里 OP 被 x 轴平分是因为圆心在 x 轴上（α=90° 特例），一般 α 不成立 —— 别把特例当通法。