中考真题（冲刺）
围绕「邻角作射线 · 正切算斜率 · 方向定存在」· 做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关单选题正切和角★★☆☆☆
2024·黑龙江绥化
A(−3, 0)，B(1, 2)，点 P 在 y 轴正半轴上，且 ∠PAB = 45°，则点 P 的坐标为（ ）
A．(0, 3)
B．(0, 9)
C．(0, 6)
D．(0, −1)
答案：B（(0, 9)）
tan θ₀ = kAB = 1/2，P 在 AB 上方侧 ⟹ kAP = tan(θ₀+45°) = (1/2+1)/(1−1/2) = 3 ⟹ y = 3×3 = 9，P(0, 9)。
⚠️ 易错：和角公式分母是 1 − k₁k₂，不是 1 + k₁k₂；先判断 P 在 AB 的哪一侧再决定 ±。
第 2 关填空题正切差角★★☆☆☆
2024·黑龙江绥化
仍取 A(−3, 0)，B(1, 2)。点 P 在 y 轴上且位于 x 轴下方，∠PAB = 45°，则点 P 的纵坐标为 ______。
答案：−1
下方射线：kAP = tan(θ₀−45°) = (1/2−1)/(1+1/2) = −1/3 ⟹ y = 3×(−1/3) = −1，P(0, −1)。
⚠️ 易错：差角公式分母变 1 + k₁k₂；斜率为负说明射线向右下方走，交 y 轴于负半轴，合理。
第 3 关填空题竖直射线无解★★★☆☆
2024·黑龙江绥化
A(−1, 0)，B(0, 1)，点 P 在 y 轴上，∠PAB = 45°，则满足条件的点 P 有 ______ 个。
答案：1
θ₀ = 45°。θ₀+45° = 90°：射线竖直向上（x = −1），与 y 轴平行打不到；θ₀−45° = 0°：水平射线 y = 0，交 y 轴于 (0, 0)。共 1 个。
⚠️ 易错：斜率不存在（竖直）的情形正切公式失效（分母为 0），必须单独讨论 —— 这也是出题人最爱的暗坑。
第 4 关填空题方向判存在★★★☆☆
2024·黑龙江绥化
A(−2, 0)，B(0, 2)，点 P 在 y 轴上，∠PAB = 60°，则满足条件的点 P 有 ______ 个。
答案：1
θ₀ = 45°。θ₀+60° = 105° > 90°：射线朝左上走，永远碰不到右边的 y 轴，无解；θ₀−60° = −15°：朝右下，交 y 轴于 (0, −2tan15°)。共 1 个。
⚠️ 易错：射线 ≠ 直线！方向角超过 90°（或小于 −90°）时朝左，约束线若在右侧必无解 —— 先判方向再联立。
第 5 关解答题正切公式推导★★★★☆
2024·黑龙江绥化
已知直线 AB 的斜率为 k₁，直线 AP 的斜率为 k₂（均存在），且 ∠PAB = α。请说明：tan α = |(k₂ − k₁)/(1 + k₁k₂)|。
说明（倾斜角差）
设两直线的倾斜角分别为 θ₁、θ₂，则 k₁ = tan θ₁，k₂ = tan θ₂，且 α = |θ₂ − θ₁|（或其补角，正切同值）。
tan α = |tan(θ₂−θ₁)| = |(tan θ₂ − tan θ₁)/(1 + tan θ₁ tan θ₂)| = |(k₂ − k₁)/(1 + k₁k₂)|。
⚠️ 易错：绝对值不能丢（α 是几何角，非负）；1 + k₁k₂ = 0 时两线垂直，α = 90°，正切不存在 —— 对应分母为零，逻辑自洽。
第 6 关探究题双解 + 临界★★★★★
2024·黑龙江绥化
A(−1, 0)，B(1, 1)，点 P 在 y 轴上，∠PAB = α。
（1）当 α = 45° 且 P 在 AB 上方侧时，P 的纵坐标为 ______；
（2）当 α = 45° 时另一候选点的纵坐标为 ______；
（3）当 α = 90° 时，满足条件的点 P 有 ______ 个。
(1)
(2)
(3)
答案：（1）3（2）−1/3（3）1
tan θ₀ = 1/2。
（1）tan(θ₀+45°) = 3 ⟹ y = 1×3 = 3，P(0, 3)；
（2）tan(θ₀−45°) = −1/3 ⟹ y = −1/3，P(0, −1/3)；
（3）α = 90° ⟺ AP ⊥ AB：方向 (1,−2) 朝右 ⟹ 交 y 轴于 (0, −2)；方向 (−1,2) 朝左，打不到 y 轴 ⟹ 只有 1 个。
⚠️ 易错：垂直有两条方向相反的射线，别默认都有解；「y 轴在 A 的右侧」决定了只有朝右的射线能命中。