平行四边形存在性

AB 为对角线 ⟹ 对角线 AB 与 MN 中点重合：x_A+x_B = x_M+x_N ⟹ x_N = 1+3−5 = −1；y_N = 1+4−2 = 3。
⚠️ 易错：「谁是对角线」决定谁相加 —— AB 当对角线就是 A+B = M+N；记成「对角两端坐标和相等」永不混。

对角线互相平分：x_A+x_B = x_M+x_N ⟹ x_M = 0+4−5 = −1（同理 y_M = 2+0−3 = −1，M(−1, −1)）。
⚠️ 易错：中点公式逆用 —— 「和相等」比「中点坐标相等」更好算，不用先求中点。

菱形 ⟺ 邻边相等 |AM| = |AB| = 5 ⟹ M 在圆 (A, 5) 上：t² = 25 ⟹ t = ±5，两个点 (±5, 0)，均不与 AB 共线 ⟹ 2 个。
⚠️ 易错：圆与 x 轴相交得两点，别只写 t = 5；另外同题改「矩形」则 AM⊥AB ⟹ 3t = 0 ⟹ t = 0 与 A 重合退化 —— 0 个！一题两问是经典配置。

AB 为对角线的平行四边形是矩形 ⟺ 另一顶点处 ∠AMB = 90° ⟺ M 在以 AB 为直径的圆上：圆心 (2, 2)，r² = 5，(t−2)² + 4 = 5 ⟹ t = 1 或 3 ⟹ 2 个。
⚠️ 易错：「对角线相等的平行四边形是矩形」⟺ 两对角线中点重合且等长 ⟺ ∠AMB = 90° —— 直接用直角存在性的「直径圆」结论，这就是模型串联。

设 AB 与 MN 交于点 P。AP = PB 且 MP = PN ⟹ △APM ≌ △BPN（SAS：对顶角相等）⟹ AM = BN 且 ∠AMP = ∠BNP ⟹ AM ∥ BN。一组对边平行且相等 ⟹ AMBN 是平行四边形。
中点重合：((x_A+x_B)/2, (y_A+y_B)/2) = ((x_M+x_N)/2, (y_M+y_N)/2) ⟹ x_A+x_B = x_M+x_N，y 同理。
⚠️ 易错：坐标条件来自「中点重合」，而中点重合是「互相平分」的代数表达 —— 几何判定与代数公式之间的桥就是中点公式。

设 M(t, 0)，按对角线分三类：
① AB 为对角线：N = A+B−M = (1−t, 3)，N 在 y 轴 ⟹ t = 1 ⟹ M(1, 0)、N(0, 3)；
② AM 为对角线：N = A+M−B = (t−3, −3) ⟹ t = 3 ⟹ M(3, 0)、N(0, −3)；
③ BM 为对角线：N = B+M−A = (t+3, 3) ⟹ t = −3 ⟹ M(−3, 0)、N(0, 3)。
共 3 组；N(0, 3) 在①③中各出现一次 ⟹ 2 组。
⚠️ 易错：双动点题千万不要只找一种配对 —— 「谁当对角线」三种情形挨个来，每组解都要回代验证 N 的约束（在 y 轴上）。