直角三角形存在性

∠A = 90° ⟺ AC ⊥ AB。k_AB = (3−2)/(3−1) = 1/2 ⟹ k_AC = −2。过 A 的垂线：y − 2 = −2(x − 1)，令 y = 0 得 x = 2。
⚠️ 易错：「互相垂直 ⟹ 斜率之积 −1」只对两条都不竖直的直线成立；设 C(t, 0) 用向量点积 (C−A)·(B−A) = 0 更稳：(t−1)·2 + (−2)·1 = 0 ⟹ t = 2。

∠B = 90° ⟺ BC ⊥ AB，过 B 作垂线：y − 3 = −2(x − 3)，令 y = 0 得 x = 3 + 3/2 = 4.5。
⚠️ 易错：直角顶点换了，垂足跟着换 —— 先想清楚「直角在谁头上」，再决定垂线过哪个点。

∠C = 90° ⟺ C 在以 AB 为直径的圆上：圆心 (2, 2)，半径 2 —— 圆心到 x 轴的距离恰等于半径，相切，唯一候选 C(2, 0)。
⚠️ 易错：圆与直线「相交 2、相切 1、相离 0」—— 先算圆心到约束线的距离 d 与 r 的关系，别把相切当相交数成 2 个。

∠A = 90°：垂线 y = −2x + 1 ⟹ C(0.5, 0)；∠B = 90°：垂线 y = −2x + 11 ⟹ C(5.5, 0)；∠C = 90°：直径圆圆心 (2, 2)、r² = 5，(x−2)² + 4 = 5 ⟹ x = 1 或 3。共 4 个，且无共线/重合退化。
⚠️ 易错：漏案只有一种原因 —— 没按「三种直角」分类。两线 + 一圆，逐个求交，最后查退化。

① 若 C 在以 AB 为直径的圆上（C 不与 A、B 重合）：AB 是直径 ⟹ 直径所对的圆周角 ∠ACB = 90°（圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半，此处圆心角为平角 180°）。
② 若 ∠ACB = 90°：取 AB 中点 M，直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ⟹ MC = AB/2 = MA = MB，故 C 在以 M 为圆心、AB 为直径的圆上。
⚠️ 易错：方向②要用「斜边中线定理」，不是把①倒过来念一遍；两个方向分别用两个定理，才是真等价。

（1）∠ACB = 90° 且 CO ⊥ AB ⟹ 射影定理：OC² = OA·OB = 1×3 = 3（也可直径圆：(0−1)² + y² = 4 ⟹ y² = 3）；
（2）y = ±√3 两个点 ⟹ 2 个；
（3）∠A = 90° 的轨迹是过 A 且 ⊥AB 的直线 x = −1，与 y 轴（x = 0）平行无交点 ⟹ 0 个。
⚠️ 易错：「两线一圆」不保证每种情形都有解 —— 垂线可能与约束线平行（无解），圆可能相离（无解）；分类之后还要逐个检查存在性。