中考真题（冲刺）
以下 6 题均来自 2024 年各地中考真题（抛物线与直线 / x 轴的公共点），做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关
单选题
2024 北京四中一模
★☆☆☆☆
2024·四川凉山
抛物线 y = x² + 2(k+1)x + k² − 2k − 3 与 x 轴有两个公共点，则 k 的取值范围是（ ）
A．k > −1
B．k < −1
C．k ≥ −1
D．k ≤ −1
答案：A（k > −1）
与 x 轴有两个公共点 ⟺ 一元二次方程有两个不等实根 ⟺ Δ > 0。
Δ = [2(k+1)]² − 4(k² − 2k − 3) = 16k + 16 > 0 ⇒ k > −1。
⚠️ 易错：把「两个公共点」写成 Δ ≥ 0（那是「至少一个」）；或把一次项的 2(k+1) 配方算错。
第 2 关
填空题
2024 北京四中一模
★★☆☆☆
2024·四川凉山
若直线 y = x + m 与抛物线 y = −x² + 2x + 3 只有一个公共点（相切），则 m = ______。
答案：m = 13/4（即 3.25）
联立：−x² + 2x + 3 = x + m ⇒ x² − x − 3 + m = 0。
相切 ⟺ Δ = 0：Δ = 1 − 4(m − 3) = 13 − 4m = 0 ⇒ m = 13/4（切点 (1/2, 15/4)）。
⚠️ 易错：移项时把 m 的符号弄反；注意本题公共点是「相切」不是「两个」。
第 3 关
填空题
2024 德州
★★☆☆☆
2024·四川凉山
已知抛物线 y = x² − 4mx + 2m + 1 经过点 (4, 3)，则该抛物线的顶点纵坐标为 ______。
答案：−1
代入 (4, 3)：16 − 16m + 2m + 1 = 3 ⇒ m = 1。
∴ y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1，顶点为 (2, −1)，纵坐标为 −1。
⚠️ 易错：配方写成 x² − 4x + 3 = (x − 2)² + 1（常数项符号错）；问的是「纵坐标」别答成横坐标 2。
第 4 关
填空题
2024 北京四中一模
★★☆☆☆
2024·四川凉山
若抛物线 y = x² − 2x − 3 与 x 轴有两个交点，则其顶点纵坐标为 ______。
答案：−4
y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4，顶点为 (1, −4)，故顶点纵坐标为 −4（与 x 轴两交点由 Δ = 16 > 0 保证）。
⚠️ 易错：把 −3 当成顶点纵坐标（那是 y 轴截距，不是顶点）；配方时常数项算错。
第 5 关
说理题
中考说理题型
★★★★☆
2024·四川凉山
请说明：为什么「抛物线 y = ax² + bx + c 与直线 y = mx + n 的公共点个数」等于「方程 ax² + bx + c = mx + n 的实根个数」。
说明（坐标 ⟺ 解 的一一对应）
点 (x₀, y₀) 是公共点 ⟺ 它既在抛物线上又在直线上 ⟺ y₀ = ax₀² + bx₀ + c 且 y₀ = mx₀ + n ⟺ ax₀² + bx₀ + c = mx₀ + n ⟺ x₀ 是方程的实根。
∴ 公共点与实根一一对应，个数相等；而实根个数由 Δ 判定：Δ > 0 两个、Δ = 0 一个（相等实根）、Δ < 0 没有。
⚠️ 易错：说理要说清「双向等价」（公共点 ⇒ 根、根 ⇒ 公共点），只推一半不得满分。
第 6 关
探究题
2024 石景山二模
★★★★★
2024·四川凉山
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax² − 2x + 1 的对称轴为直线 x = 1。
（1）则 a = ______；
（2）顶点为 P，直线 y = 9 与抛物线交于 G、H 两点，则 △PGH 的面积为 ______；
（3）直线 y = m（m > 0）与抛物线 y = (x−1)² 交于 A、B，与 y = 4(x−1)² 交于 C、D，则线段 AB 与 CD 的长度之比为 ______。
(1)
(2)
(3)
答案：（1）1 （2）27 （3）2
（1）对称轴 x = −(−2)/(2a) = 1/a = 1 ⇒ a = 1，抛物线即 y = (x−1)²，顶点 P(1, 0)。
（2）y = 9 ⇒ (x−1)² = 9 ⇒ x = −2 或 4，G(−2, 9)、H(4, 9)，GH = 6，高 = 9 − 0 = 9，S = ½ × 6 × 9 = 27。
（3）y = m ⇒ x = 1 ± √m，AB = 2√m；y = m ⇒ 4(x−1)² = m ⇒ x = 1 ± √m/2，CD = √m；AB : CD = 2√m : √m = 2。
⚠️ 易错：第(2)问把顶点高当成 9（应是 9−0=9）；第(3)问 CD 漏掉系数 4 开根得 √m/2。