二次函数的对称变换（一般式）

关于 x 轴对称：每点 (x, y) → (x, −y)，即 y′ = −f(x) ⇒ a、b、c 全变号：(2, −4, 1) → (−2, 4, −1)。
⚠️ 易错：B 是「关于 y 轴对称」的结果（只动 b）；只给 a 变号或只给 c 变号都是半截子工程 —— x 轴对称是整体取负。

关于 y 轴对称：x 换成 −x，y′ = (−x)² + 6(−x) − 2 = x² − 6x − 2 —— 只有 b 变号，一次项系数 = −6。
⚠️ 易错：x² 项里 (−x)² = x²，a 不变；常数项不含 x，也不变。别把 6x 直接抄下来。

关于原点对称：y′ = −f(−x) = −[3(−x)² − 2(−x) + 5] = −3x² − 2x − 5 —— a、c 变号，b 不变号，一次项系数仍是 −2。
⚠️ 易错：这是全卷最有名的陷阱 —— 想都不想就「全变号」写成 +2，正中出题人下怀。推导一遍：负负得正，(−x) 配上整体负号，一次项恰好抵消。

先配方：y = (x − 2)² − 1，顶点 (2, −1)。关于 y 轴对称 ⇒ 顶点横坐标取反、纵坐标不动：(2, −1) → (−2, −1)，横坐标 −2。
代数验证：y′ = f(−x) = x² + 4x + 3 = (x+2)² − 1 ✓。
⚠️ 易错：顶点追踪（几何）与系数变号（代数）必须能互相验算 —— 两法同值才落笔。

关于原点对称：图象上每点 (x, y) → (−x, −y)。设新图象上任意点为 (x′, y′)，则它由原图象上的点 (−x′, −y′) 对称而来，故 −y′ = a(−x′)² + b(−x′) + c = ax′² − bx′ + c，两边取负得 y′ = −ax′² + bx′ − c。
∴ 二次项、常数项变号，一次项 b 不变号 —— (−x)² 把平方项的符号吃掉了，一次项的 −bx′ 又被整体负号翻回来。
⚠️ 易错：说理必须落到「点 (x, y) → (−x, −y)」的对应关系上，光背口诀不得分。

配方：y = (x − 2)² − 1，顶点 (2, −1)。
（1）关于 x = 1：顶点 (2,−1) → (0,−1) ⇒ y = x² − 1，常数项 −1（即 y′ = f(2−x) 展开同值）；
（2）关于点 (1, 0)：顶点 → (0, 1) 且开口反向 ⇒ y = −x² + 1，常数项 1；
（3）x 轴再 y 轴 = 原点对称：y′ = −f(−x) = −x² − 4x − 3，常数项 −3。
⚠️ 易错：任意轴 / 中心对称别硬背新口诀 —— 用「顶点搬家 + 开口方向」两步走，或者 f(2n−x)、2q−f(2p−x) 展开验证。