初中数学 · 动态几何实验室

二次函数的对称变换（顶点式）

y = a(x−h)² + k —— 拖一拖顶点，开口、对称轴、最值全部一目了然

y = a(x − h)² + k ⇒ 顶点 (h, k) · 对称轴 x = h 平移不改开口

模型同源真题 2024·湖南长沙 ★★★☆☆

如图，抛物线 y = −3(x + 2)² + 4 的对称轴是直线 x = ______。

实验台 · y = a(x−h)² + k

拖动金色顶点 V 改变 (h,k)，拖动臂点 P 改变 a（上下滑控制开口大小，翻过顶点即反向）—— 虚影是 y=ax²，盯住它怎么平移

◈ 实时观测

开口方向—

开口大小 |a|—

对称轴—

顶点坐标—

最值—

增减性—

顶点 (h,k) · 对称轴 x = h

y = a(x−h)² + k ⇒ 顶点 (h, k)

平移不改形状：y=a(x−h)²+k 与 y=ax² 开口完全相同，只是顶点从 (0,0) 平移到了 (h,k)

口诀：左加右减自变量，上加下减常数项

实验台 · y=ax² 平移两步曲

三条抛物线同屏：白虚 y=ax² → 青虚 y=a(x−h)² → 金色 y=a(x−h)²+k —— 拖动 V 看两步平移路径

◈ 实时观测

第一步（左右）—

第二步（上下）—

顶点轨迹—

开口变化—

平移不改开口，只改位置

y=ax² → y=a(x−h)² → y=a(x−h)²+k

先左右、后上下：两步平移，a 从头到尾不变 —— 图象形状一模一样，只是换了位置

口诀：先左右后上下，平移千万条，a 值不变第一条

中考真题（冲刺）

围绕「y = a(x−h)² + k」的顶点、对称轴、最值与平移 · 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★☆☆☆☆

2024·广元

抛物线 y = 2(x − 3)² + 1 的顶点坐标是（　）

A．(−3, 1)

B．(3, −1)

C．(3, 1)

D．(−3, −1)

答案：C（(3, 1)）

顶点式 y = a(x − h)² + k 的顶点就是 (h, k)。注意符号：x − 3 说明 h = 3（不是 −3），常数项 +1 说明 k = 1。顶点式里 h 前面天生带一个减号，看到 (x−3)² 要读成 h=3，看到 (x+2)² 要读成 h=−2。

第 2 关填空题符号陷阱 ★★☆☆☆

2024·广元

抛物线 y = −(x + 2)² − 5 的对称轴是直线 x = ______。

答案：x = −2

对称轴是直线 x = h。把 (x+2)² 改写成 (x−(−2))² ⇒ h = −2。⚠️ 最常见的错误就是答 x = 2 —— 顶点式的减号是「出厂设置」，括号里永远是 x 减去 h。

第 3 关填空题最值 ★★☆☆☆

2024·广元

二次函数 y = 3(x + 1)² − 4 的最小值是 ______。

答案：最小值 = −4（此时 x = −1）

a = 3 > 0，开口向上 ⇒ 顶点处取得最小值，最小值就是 k = −4，当 x = h = −1 时取得。⚠️ 问「最小值」答 k；问「何时取得」才答 h —— 审题！

第 4 关填空题平移逆用 ★★★☆☆

2024·广元

将抛物线 y = −3x² 先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线的解析式为 y = ______（用顶点式）。

答案：y = −3(x + 2)² − 1

左加右减自变量：向左 2 个单位 ⇒ x 换成 (x+2)，得 y = −3(x+2)²；上加下减常数项：再向下 1 个单位 ⇒ 整体减 1，得 y = −3(x+2)² − 1。⚠️ 向左是「+2」不是「−2」 —— 左加右减，方向与符号相反，是最易错点。

第 5 关解答题增减性 ★★★☆☆

2024·广元

已知 y = −2(x − 1)² + 3，点 A(−1, y₁)、B(2, y₂) 在其图象上，比较 y₁ 与 y₂ 的大小，并说明理由。

答案：y₂ > y₁

法一（增减性）：a = −2 < 0，开口向下，对称轴 x = 1 —— 离对称轴越近，函数值越大。A 距轴 |−1−1| = 2，B 距轴 |2−1| = 1 ⇒ y₂ > y₁。
法二（代入）：y₁ = −2×(−2)²+3 = −5，y₂ = −2×1²+3 = 1 ⇒ y₂ > y₁。「距离对称轴的远近」是比较函数值大小的万能钥匙。

第 6 关探究题待定系数 ★★★★☆

2024·广元

抛物线 y = a(x − h)² + k 的顶点为 (2, −3)，且经过点 (4, 1)。
（1）h = ______；（2）k = ______；（3）a = ______。

(1)

(2)

(3)

答案：（1）h = 2（2）k = −3（3）a = 1

顶点 (h, k) = (2, −3) ⇒ h = 2，k = −3，解析式变为 y = a(x−2)² − 3。代入点 (4, 1)：1 = a·(4−2)² − 3 ⇒ 4a = 4 ⇒ a = 1。知道顶点就直接写顶点式，只剩 a 一个未知数 —— 这是待定系数法的最短路径。