二次函数的平移变换（一般式）

上加下减常数项：向上平移 2 ⇒ c → c + 2 = 3 + 2 = 5，其余不动 ⇒ y = x² − 2x + 5。
⚠️ 易错：B 选项把「上移」错套成「右移」的形式 —— 上下平移只动 c，绝不动 x。

向下平移 3 ⇒ c → c − 3 = −1 − 3 = −4，即 y = 2x² + 4x − 4。
⚠️ 易错：「下减」减的是常数项本身：−1 − 3 = −4（不是 −1 + 3，也不是把 3 减在 x 上）。

右移 2 ⇒ 把 x 换成 (x − 2)：y = (x−2)² − 4(x−2) + 1 = x² − 4x + 4 − 4x + 8 + 1 = x² − 8x + 13。
巧法：b′ = b − 2am = −4 − 2×1×2 = −8。
⚠️ 易错：右移是 x − 2（左加右减自变量），写成 (x+2)² 就反了；展开后一次项、常数项都要重算。

左移 1 ⇒ 把 x 换成 (x + 1)：y = (x+1)² + 2(x+1) + 3 = x² + 2x + 1 + 2x + 2 + 3 = x² + 4x + 6。
验算（顶点视角）：原顶点 (−1, 2)，左移 1 到 (−2, 2) ⇒ y = (x+2)² + 2 = x² + 4x + 6 ✓ 两法同值。
⚠️ 易错：常数项 ≠ 3 + 1 —— 左移不是动 c，而是 x 换 x+1 后全部展开。

向上平移 m：图象上每点 (x, y) → (x, y + m)。设新图象上点 (x, y′)，则 y′ = y + m = ax² + bx + c + m —— 所以只动常数项。
向右平移 m：每点 (x, y) → (x + m, y)。设新图象上点 (x′, y′)，则 x = x′ − m，y′ = a(x′−m)² + b(x′−m) + c —— 自变量换成 (x − m)。
∴ 上加下减常数项，左加右减自变量。
⚠️ 易错：向右移括号里是 x − m（新坐标 = 旧坐标 + m ⇒ 旧 = 新 − m，回代要取减号）——「右移为什么用减」必须能说清。

配方：y = (x − 1)² − 4，顶点 (1, −4)。
（1）右移 2 ⇒ 顶点 (1+2, −4) = (3, −4)，横坐标 3；
（2）与 x 轴只有一个交点 ⇔ 顶点落在 x 轴上 ⇒ −4 + t = 0 ⇒ t = 4；
（3）过原点：y = (x−1)² − 4 + s 代入 (0, 0)：1 − 4 + s = 0 ⇒ s = 3。
⚠️ 易错：先配方再找顶点 —— 平移问题里「顶点追踪」比硬展开快得多，还不易错。