二次函数的平移变换（顶点式）

右移 2 ⇒ 顶点 (1, 3) → (3, 3) ⇒ h → 1 + 2 = 3 ⇒ y = 2(x − 3)² + 3。a、k 不动。
⚠️ 易错：A、D 动的是 k（那是上下移）；B 是左移 —— 右移 h 加、括号里 x 减，方向感要刻进肌肉。

上移 4 ⇒ k → −1 + 4 = 3 ⇒ y = −(x+2)² + 3。a = −1 < 0 开口向下 ⇒ 最大值 = 新 k = 3。
⚠️ 易错：开口向下才有最大值；平移不改变开口方向 —— 最值跟着 k 走。

左移 1 ⇒ h → 2 − 1 = 1 ⇒ 对称轴 x = 1（新解析式 y = 3(x − 1)² + 1）。
⚠️ 易错：左移是 h 减 1（顶点向左走），但括号里写成 x − 1 —— 「括号外看顶点，括号里看符号」，两套方向别打架。

顶点追踪：(3, −2) → 左 2 → (1, −2) → 上 5 → (1, 3) ⇒ 新解析式 y = (x − 1)² + 3。
展开：x² − 2x + 4 ⇒ 一次项系数 −2（或用 b = −2h = −2×1）。
⚠️ 易错：连续平移与顺序无关（左右、上下各管各的），直接对顶点做加减最快。

y = 2x² 的顶点是 (0, 0)；y = 2(x − 1)² − 3 的顶点是 (1, −3)。
两抛物线 a 相同（都是 2）⇒ 形状相同，只差平移。
顶点 (0, 0) → (1, −3)：横坐标 +1、纵坐标 −3。
∴ 向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位（顺序可交换）。
⚠️ 易错：答「向左/向上」是把平移方向看反了 —— 盯住顶点从哪到哪，别盯括号里的符号。

（1）上移 m：y = (x−2)² + 1 + m 代入 (3, 4)：4 = 1 + 1 + m ⇒ m = 2；
（2）右移 n：y = (x−2−n)² + 1 代入 (4, 2)：(2−n)² = 1 ⇒ 2−n = ±1 ⇒ n = 1 或 3，较小值 1；
（3）较大值 3。检验：n = 1 时 y = (x−3)²+1 过 (4, 2) ✓；n = 3 时 y = (x−5)²+1 过 (4, 2) ✓。
⚠️ 易错：第（2）问平方开出来有两个根 —— 同一高度对应左右两支，漏解是这类题的祖传丢分点。