初中数学 · 动态几何实验室

二次函数顶点式的图象与性质

y = a(x−h)² + k —— 三个参数各管一件事：a 管开口，h 管左右，k 管上下，五件性质一次看全

开口看 a ｜对称轴 x = h ｜顶点 (h, k) ｜最值 k

模型同源真题 2024·浙江宁波 ★★☆☆☆

如图，二次函数 y = 2(x − 3)² + 3，则它的顶点坐标为 (3, ______)。

实验台 · 三个参数各管一件事

拖金色顶点 V 改 h、k（半格吸附）；拖粉色臂点 P 改 a —— 往下拖过顶点，抛物线当场翻身

◈ 实时观测

解析式—

开口方向（a 的符号）—

开口大小（|a|）—

对称轴—

顶点坐标—

增减性—

最值—

a 管开口，h 管左右，k 管上下

y = a(x−h)² + k ⇒ 顶点 (h, k)

(x−h)² ≥ 0 恒成立：a > 0 时 y ≥ k（开口向上，x = h 取最小值 k）；a < 0 时 y ≤ k（开口向下，x = h 取最大值 k）；图象关于直线 x = h 对称

口诀：a 正朝上 a 负朝下，h 移轴 k 移家，最值就在顶点拿

实验台 · 离轴距离定大小

P（金）、Q（青）在抛物线上滑动；P′ 是 P 关于对称轴的镜像 —— 比 y_P 与 y_Q 谁大，只看谁离对称轴更近（开口向上时越近越小）

◈ 实时观测

P 到轴距离 |x_P−h|—

Q 到轴距离 |x_Q−h|—

y_P 与 y_Q—

对称点 P′(2h−x_P, y_P)—

开口方向—

开口向上：离轴越近，y 越小

比大小 = 开口方向 + 离轴距离

f(h+t) = f(h−t)：对称轴两侧等距的点函数值相等；a > 0 时 |x−h| 越小 y 越小（a < 0 恰好相反）—— 不用算函数值，量距离就够

口诀：先定开口再量距，近轴小来远轴大（开口向上）

中考真题（冲刺）

围绕「顶点直读 · 开口定向 · 离轴比大小」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题顶点直读 ★☆☆☆☆

2024·北京

抛物线 y = 2(x − 3)² + 1 的顶点坐标是（　）

A．(3, 1)

B．(−3, 1)

C．(3, −1)

D．(−3, −1)

答案：A（(3, 1)）

顶点式 y = a(x − h)² + k 的顶点是 (h, k)：x − 3 = x − h ⇒ h = 3（不是 −3！），k = 1 ⇒ 顶点 (3, 1)。
⚠️ 易错：括号里是「x − h」，x − 3 对应 h = 3；若题目写成 (x + 3)²，则 h = −3 —— 符号相反是中考最爱挖的坑。

第 2 关填空题最值 ★★☆☆☆

2024·北京

二次函数 y = −(x + 2)² + 5 的最大值是 ______。

答案：5

a = −1 < 0 ⇒ 开口向下 ⇒ 顶点处取最大值。x + 2 = x − (−2) ⇒ h = −2，当 x = −2 时 y 最大 = k = 5。
⚠️ 易错：① 对称轴是 x = −2 不是 x = 2；② 开口向下才有最大值，开口向上是最小值 —— 先看 a 的符号再开口。

第 3 关填空题离轴比大小 ★★☆☆☆

2024·北京

点 A(−1, y₁)、B(2, y₂) 都在抛物线 y = (x − 1)² − 2 上，则 y₁ − y₂ = ______。

答案：3

代入：y₁ = (−1−1)² − 2 = 2，y₂ = (2−1)² − 2 = −1 ⇒ y₁ − y₂ = 3。
速判（不算也知道谁大）：对称轴 x = 1，A 离轴 2、B 离轴 1；开口向上，离轴越远 y 越大 ⇒ y₁ > y₂。
⚠️ 易错：比大小先看「离轴距离 + 开口方向」，往往不用算出函数值。

第 4 关填空题待定系数 ★★★☆☆

2024·北京

已知抛物线 y = a(x − 2)² − 1 经过点 (3, 1)，则 a = ______。

答案：2

把 (3, 1) 代入：1 = a·(3−2)² − 1 ⇒ a·1 = 2 ⇒ a = 2。
顶点式里 h、k 已知时只剩一个未知数 a，过一个点就能定 —— 这就是「已知顶点设顶点式」的威力。
⚠️ 易错：代点时 (x−h)² 别忘平方：(3−2)² = 1，不是 3−2 = 1 就完事（本题恰好相同，换个点就错）。

第 5 关解答题五件套 ★★★★☆

2024·北京

不画图象，直接写出抛物线 y = −2(x + 1)² + 3 的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值以及增减性。

解答（五件套逐条对号）

a = −2 < 0 ⇒ 开口向下；
x + 1 = x − (−1) ⇒ 对称轴 x = −1，顶点 (−1, 3)；
当 x = −1 时，y 有最大值 3；
增减性：当 x < −1 时 y 随 x 增大而增大，当 x > −1 时 y 随 x 增大而减小。
⚠️ 易错：增减性必须以对称轴为分界描述，且开口向下时「左增右减」，别背成开口向上的版本。

第 6 关探究题零点距离 ★★★★★

2024·北京

已知抛物线 y = (x − 2)² − 4。
（1）顶点的横坐标 h = ______；
（2）y 的最小值 = ______；
（3）图象与 x 轴两交点之间的距离 = ______。

(1)

(2)

(3)

答案：（1）2（2）−4（3）4

（1）（2）直读顶点式：顶点 (2, −4)，a = 1 > 0 开口向上 ⇒ 最小值 −4；
（3）令 y = 0：(x−2)² = 4 ⇒ x − 2 = ±2 ⇒ x = 0 或 4 ⇒ 两交点 (0, 0)、(4, 0)，距离 4。
巧法：两零点关于对称轴 x = 2 对称，求出一根 x = 0，另一根必为 2×2 − 0 = 4。
⚠️ 易错：k = −4 时图象与 x 轴有两个交点；若 k > 0 且开口向上则无交点 —— 先判断最值符号再求根。