如图，A(1, 2)、B(5, 2)，点 C 在 x 轴上，且 △ABC 是等腰三角形。则满足条件的点 C（不与 A、B 重合）共有 ______ 个。
实验台 · 两圆一线找等腰
A、B 整点吸附随便拖；C 被「钉」在 x 轴上滑 —— 三个开关亮起三种等腰的轨迹线，把 C 拖到交点上，三角形立刻等腰
◈ 实时观测
AB（定边）—
AC—
BC—
候选点（两圆一线∩x轴）—
当前形态—
等腰 ⟺ 两边相等 ⟺ 三种可能
候选点 =（⊙A ∪ ⊙B ∪ 中垂线）∩ 定直线
AB=AC ⇒ C 在以 A 为圆心、AB 为半径的圆上；BA=BC ⇒ C 在以 B 为圆心的圆上；CA=CB ⇒ C 在 AB 的中垂线上 —— 与定直线求交，排除共线退化，就是全部答案
口诀：等腰存在不用慌，两圆一线全扫光
实验台 · 同一条辅助线，换条跑道照样扫
约束线可换：x 轴 / y 轴 / 直线 y = x —— 两圆一线是通法；注意有时圆与定直线「没有交点」，那种情形就是无解
◈ 实时观测
AB（定边）—
AC—
BC—
候选点（当前约束线）—
当前形态—
换条定直线，方法不变
定直线随便换，两圆一线照扫
x 轴、y 轴、斜线、抛物线对称轴…… 约束线千变万化，候选点永远是「两圆一线」与它的交点；圆离线太远无交点 ⇔ 该情形无解 —— 个数讨论就是这么来的
口诀：先定跑道再画圆，有无交点定解数
中考真题（冲刺）
围绕「两圆一线 · 分类讨论 · 退化排除」· 做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关单选题中垂线情形★☆☆☆☆
2023·重庆
如图，在平面直角坐标系中，A(1, 1)、B(3, 3)，点 C 在 x 轴上。若 CA = CB，则点 C 的坐标为（ ）
A．(2, 0)
B．(3, 0)
C．(4, 0)
D．(5, 0)
答案：C（(4, 0)）
CA = CB ⇒ C 在 AB 的垂直平分线上。AB 中点 M(2, 2)，斜率 kAB = 1 ⇒ 中垂线斜率 −1：y − 2 = −(x − 2)，令 y = 0 得 x = 4，即 C(4, 0)。 验证：CA = CB = √(9+1) = √10 ✓。 ⚠️ 易错：中垂线斜率是 AB 斜率的负倒数，不是相反数。
第 2 关填空题圆 A 情形★★☆☆☆
2023·重庆
如图，A(0, 3)、B(3, 4)，点 C 在 x 轴正半轴上。若 AB = AC，则点 C 的横坐标为 ______。
答案：1
AB = √(3²+1²) = √10 ⇒ C 在以 A 为圆心、√10 为半径的圆上。设 C(x, 0)：AC = √(x²+9) = √10 ⇒ x² = 1 ⇒ x = ±1，正半轴取 x = 1。 ⚠️ 易错：圆与 x 轴有两个交点（±1），注意题目限定「正半轴」—— 限定词就是取舍依据。
第 3 关填空题退化排除★★★☆☆
2023·重庆
如图，A(0, 2)、B(3, 6)，点 C 在 y 轴上（不与 A 重合）。若 BA = BC，则点 C 的纵坐标为 ______。
答案：10
BA = √(3²+4²) = 5 ⇒ C 在以 B 为圆心、5 为半径的圆上。设 C(0, y)：BC = √(9+(y−6)²) = 5 ⇒ (y−6)² = 16 ⇒ y = 2 或 10。 y = 2 时 C 与 A 重合，三点不成三角形 —— 退化，舍去。∴ y = 10。 ⚠️ 易错：解出两个值一定要回看「能否构成三角形」—— 与已知顶点重合、三点共线的解都要舍。
第 4 关填空题个数讨论★★★☆☆
2023·重庆
如图，A(0, 0)、B(4, 2)，点 C 在 x 轴上。使 △ABC 为等腰三角形的点 C 共有 ______ 个。
答案：4
AB = 2√5，分三种情形： ① AB = AC：⊙A 半径 2√5 ≈ 4.47 交 x 轴于 x = ±2√5 —— 2 个（都不是 A，均非退化）； ② BA = BC：⊙B 交 x 轴于 x = 0、8 —— x = 0 即 A 本身（退化舍），剩 1 个； ③ CA = CB：中垂线交 x 轴于 x = 2.5 —— 1 个。 合计 2 + 1 + 1 = 4 个。 ⚠️ 易错：漏掉「⊙A 有两个交点」或忘记舍退化，都会错得 3 或 5。
第 5 关证明题定理本源★★★★☆
2023·重庆
如图，点 C 在线段 AB 的垂直平分线 l 上，l 交 AB 于点 M。求证：CA = CB。
证明（全等三角形）
∵ l 是 AB 的垂直平分线，∴ AM = BM，CM ⊥ AB，即 ∠CMA = ∠CMB = 90°。 在 △CMA 与 △CMB 中：AM = BM，∠CMA = ∠CMB，CM = CM（公共边）， ∴ △CMA ≌ △CMB（SAS），∴ CA = CB。证毕。 ⚠️ 易错：中垂线性质定理直接用「∵ C 在中垂线上 ∴ CA=CB」在解答题里给分，但证明题必须走全等 —— 看清题目要求。
第 6 关探究题三情形分类★★★★★
2023·重庆
如图，A(0, 2)、B(4, 4)，点 C 在 x 轴上。设 △ABC 为等腰三角形： （1）若 CA = CB，则点 C 的横坐标为 ______； （2）若 AB = AC 且 C 在 x 轴正半轴，则点 C 的横坐标为 ______； （3）若 BA = BC，则点 C 的横坐标较小值为 ______。