初中数学 · 动态几何实验室

等积法模型

坐标系里的三角形面积难求？—— 过顶点作平行线，把顶点「滑」到坐标轴上，面积纹丝不动

l ∥ BC ⇒ S△PBC = S△ABC ｜同底等高 · 等积变形

模型同源真题 2024·陕西西安 ★★★☆☆

如图，△ABC 中，BC = 6，BC 边上的高为 4。点 P 在平行于 BC 的直线 l 上运动，则 S_△PBC = ______。

实验台 · 顶点沿平行线滑动

A、B、C 整点吸附随便拖；金色 P 被「钉」在过 A 且平行 BC 的虚线上 —— 把 P 滑到 E（x 轴）或 D（y 轴），盯紧面积读数

◈ 实时观测

底 |BC|—

高 h（平行线间距）—

S△ABC = ½·底·高—

S△PBC（拖 P 检验）—

l 与坐标轴交点—

顶点沿平行线滑动，面积纹丝不动

l ∥ BC ⇒ S△PBC = S△ABC

平行线间的距离处处相等 ⇒ 同底 BC、等高 h ⇒ 面积必等；把顶点滑到坐标轴上的 E / D，斜三角形秒变「轴上三角形」

口诀：底不动，顶顺着平行线跑，面积永远不变

实验台 · 等积点轨迹 = 两条平行线

A、B、C 可拖；P 全平面整点吸附 —— 把 P 拖到虚线 l₁ 或 l₂ 上，S△PBC 立刻变绿；E₁、E₂ 就是「x 轴上找等积点」的两个答案

◈ 实时观测

目标 S△ABC—

S△PBC（实时）—

P 到 BC 的距离—

E₁ = l₁ ∩ x 轴—

E₂ = l₂ ∩ x 轴—

等积 ⟺ 等高 ⟺ P 在 l₁ 或 l₂ 上

等积 ⟺ 等高 ⟺ P ∈ l₁ ∪ l₂

到 BC 的距离等于 h 的点，恰好组成与 BC 平行的两条直线（两侧各一）；它们与 x 轴的交点 E₁、E₂，就是压轴题「轴上找等积点」的两个答案

口诀：要面积相等先量高，平行两条任你挑

中考真题（冲刺）

围绕「同底等高 · 等积变形 · 双侧轨迹」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题视频原型 ★☆☆☆☆

2024·成都

如图，在平面直角坐标系中，A(1, 1)、B(2, 4)、C(4, 2)。过 A 作直线 l ∥ BC，交 x 轴于点 E、交 y 轴于点 D（图中虚线）。则 △ABC 的面积是（　）

A．3

B．4

C．5

D．6

答案：B（4）

等积变形：∵ l ∥ BC，∴ S△ABC = S△EBC（同底等高）。由图知 E(2, 0)，而 B(2, 4) —— BE 竖直，BE = 4；C(4, 2) 到直线 BE（x = 2）的水平距离为 2。
∴ S△ABC = S△EBC = ½ × 4 × 2 = 4。（换个滑法也行：S△ABC = S△DBC，DC 水平 = 4，B 到 DC 的距离 = 2。）
⚠️ 易错：等积后优先挑「竖直边 / 水平边」当底；高必须到底边去量，别把坐标数字直接当高。

第 2 关填空题等积变形 ★★☆☆☆

2024·成都

如图，A(1, 2)、B(1, 4)、C(5, 2)。过 A 作 AE ∥ BC 交 x 轴于点 E（图中虚线），则 S△ABC = ______。

答案：4

先找 E：BC 的斜率 = (2−4)/(5−1) = −½，过 A(1, 2) 的平行线为 y − 2 = −½(x − 1)，令 y = 0 得 x = 5，即 E(5, 0)（图中可直接读出）。
等积：S△ABC = S△EBC。E、C 的横坐标都是 5 ⇒ EC 竖直，EC = 2；B(1, 4) 到直线 x = 5 的距离 = 4。
∴ S△ABC = ½ × 2 × 4 = 4。
⚠️ 易错：E 是「过 A 的平行线」与 x 轴的交点，不是 AC、AB 与 x 轴的交点 —— 辅助线不能画错对象。

第 3 关填空题双侧轨迹 ★★★☆☆

2024·成都

如图，A(2, 1)、B(1, 3)、C(4, 2)。过 A 作 AE ∥ BC 交 x 轴于点 E(5, 0)。若 x 轴上另有一点 P（不与 E 重合），使 S△PBC = S△ABC，则点 P 的横坐标为 ______。

答案：15

巧解（对称）：满足 S△PBC = S△ABC 的点组成两条平行线 —— l₁（过 A）与 l₂（l₁ 关于 BC 的镜像），BC 恰好是它们正中间的「中位线」。
延长 BC 交 x 轴于 M：BC 斜率 = (2−3)/(4−1) = −⅓，方程 y − 3 = −⅓(x − 1)，令 y = 0 得 M(10, 0)。
三条平行线被 x 轴所截，截点 E、M、P 等距 ⇒ M 是 EP 的中点 ⇒ x_P = 2×10 − 5 = 15。
验证：S△PBC = |15·(3−2) + 1·(2−0) + 4·(0−3)| / 2 = |15+2−12|/2 = 2.5 = S△ABC ✓。
⚠️ 易错：等积点有两个（BC 两侧各一条轨迹），只答 E 漏掉 P，是压轴题最常见的丢分点。

第 4 关填空题 y 轴等积点 ★★★☆☆

2024·成都

如图，A(0, 2)、B(2, 3)、C(4, 1)。在 y 轴上存在另一点 P（异于 A），使 S△PBC = S△ABC，则点 P 的纵坐标为 ______。

答案：8

巧解（对称）：BC 斜率 = (1−3)/(4−2) = −1，延长 BC 交 y 轴于 M：方程 y = −x + 5，得 M(0, 5)。
等积点轨迹是两条平行线 l₁（过 A）、l₂（镜像），y 轴截三线于 A、M、P，且 M 为 AP 中点 ⇒ y_P = 2×5 − 2 = 8。
验证：P(0, 8)，S△PBC = |0·(3−1) + 2·(1−8) + 4·(8−3)| / 2 = |−14+20|/2 = 3 = S△ABC ✓。
⚠️ 易错：方程还会解出 t = 2 —— 那是 A 自己，题目说「异于 A」，必须舍去。

第 5 关证明题定理本源 ★★★★☆

2024·成都

如图，直线 m ∥ n，点 B、C 在直线 n 上，点 A、P 在直线 m 上。求证：S△ABC = S△PBC。

证明（同底等高）

过 A 作 AH₁ ⊥ BC 于 H₁，过 P 作 PH₂ ⊥ BC 于 H₂。
∵ m ∥ n，∴ AH₁ = PH₂（平行线间的距离处处相等）。
又 ∵ △ABC 与 △PBC 同底 BC，
∴ S△ABC = ½·BC·AH₁ = ½·BC·PH₂ = S△PBC。证毕。
⚠️ 易错：必须先证「高相等」再得「面积等」——直接写"同底等高故面积等"而不交代高的来源，会被扣过程分。

第 6 关探究题式子表示 ★★★★★

2024·成都

如图，直线 l₁ ∥ l₂，点 B、C 在 l₂ 上，点 A、P 是 l₁ 上两点，BC = b，两平行线间的距离为 a。
（1）S△ABC = ______（用含 a、b 的式子表示）；
（2）S△PBC = ______（用含 a、b 的式子表示）；
（3）若 a = 3、b = 8，则 S△PBC = ______。

(1)

(2)

(3)

答案：（1）a·b/2（2）a·b/2（3）12

（1）以 BC = b 为底，高就是两平行线间的距离 a：S△ABC = ab/2；
（2）P 与 A 在同一条平行线上 ⇒ P 到 BC 的高仍是 a ⇒ S△PBC = ab/2 —— 与 P 的位置无关，这就是「等积」的威力；
（3）代入：½ × 3 × 8 = 12。
⚠️ 易错：第（2）问最易凭感觉写「随 P 改变」—— 底被钉死、高被平行线锁死，面积是定值。