初中数学 · 动态几何实验室
一次函数的平移
y = kx + b 左右上下搬家 —— 竖直动 b，水平换 x
竖直：
b + n
｜ 水平：
x → x − m
上加下减 b，左加右减 x
① 实验台（基础）
② 双向合成（拓展）
③ 中考真题（冲刺）
模型同源真题
2024·浙江杭州
★★★☆☆
如图，将直线
y
= 2
x
+ 1 向左平移 3 个单位，则平移后所得直线的截距
b′
= ______。
实验台 · y = kx + b 的两种平移
拖 B/P 改原直线；绿色 m 手柄在 x 轴上左右拖（水平移），青色 n 手柄在 y 轴上上下拖（竖直移）
⇅ 拖 动 我
y=2x+1·左移3 ▸
↺ 复位
▶ 自动演示
⇄ 水平平移
⇅ 竖直平移
🎬 推导动态解读
‹ 上一步
⏸ 暂停
下一步 ›
✕ 退出
◈ 实时观测
原直线
—
水平移动 m
—
水平平移式
—
平移后截距 b′
—
竖直移动 n
—
竖直平移式
—
上加下减 b，左加右减 x
竖直 n：b+n ｜ 水平 m：x → x−m
竖直平移只动截距 b；水平平移把 x 换成 (x−m) —— 方向与符号相反（左移反而 +m），换元反解是本质
口诀：上加下减截距，左加右减自变量
实验台 · 先左右，后上下
拖 m、n 手柄，看金点 P 两步搬家：先水平到 P₁，再竖直到 P′ —— 交换顺序，终点一样吗？
⇅ 拖 动 我
▶ 自动演示
↺ 复位
⇋ 交换顺序对照
◈ 实时观测
原直线
—
第一步（水平 m）
—
第二步（竖直 n）
—
最终解析式（展开）
—
P 搬家验证
—
两步平移可交换 ✓
y = k(x−m) + b + n = kx + (b + n − km)
左右、上下各管各的 —— 展开后合成一个常数项：b + n − km；交换顺序殊途同归
口诀：先左后上再化简，常数项里全收编
中考真题（冲刺）
围绕「上加下减 b，左加右减 x」· 做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关
单选题
直击中考
★☆☆☆☆
2025·陕西
直线
y = 2x + 3
向上平移 2 个单位，所得直线的解析式是（ ）
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
O
y = 2x + 3
竖直移动 2
向上 2 个单位 ⇒ 解析式？
A．y = 2x + 1
B．y = 2(x+2) + 3
C．y = 2x + 5
D．y = 2(x−2) + 3
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：C（y = 2x + 5）
上加下减截距：向上 2 个单位 ⇒ b → b+2 ⇒ y = 2x + 3
+ 2
= 2x + 5。⚠️ B、D 是
水平
平移的写法 —— 方向别串：竖直动 b，水平换 x。
第 2 关
填空题
左移化简
★★☆☆☆
2025·陕西
直线
y = 3x − 1
向左平移 2 个单位，所得直线的解析式（化简）为 y = ______。
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
O
y = 3x − 1
水平移动 -2
向左 2 个单位 ⇒ 化简？
提交
查看答案与解析
答案：y = 3x + 5
左加右减自变量：x 换成 (x+2) ⇒ y = 3(x+2) − 1 = 3x + 6 − 1 =
3x + 5
。
「向左」对应「+2」——方向与符号相反，这是最常丢的 3 分
。
第 3 关
填空题
交点追踪
★★☆☆☆
2025·陕西
直线
y = −x + 4
向右平移 3 个单位后，与 y 轴交点的纵坐标为 ______。
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
O
y = −x + 4
水平移动 3
向右 3 个单位，与 y 轴交点？
提交
查看答案与解析
答案：7
右移 3：x 换成 (x−3) ⇒ y = −(x−3) + 4 = −x + 7 ⇒ 与 y 轴交于 (0,
7
)。验算：x=0 代入 −(0−3)+4 = 3+4 = 7 ✓。
第 4 关
填空题
逆向求 n
★★★☆☆
2025·陕西
直线
y = 2x − 4
经过平移后恰好经过原点，则需向上平移 ______ 个单位。
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
O
y = 2x − 4
向上几个单位后经过原点？
提交
查看答案与解析
答案：4
过原点 ⇔ b 变为 0：−4 + n = 0 ⇒ n =
4
（向上）。
过原点 = 截距归零 —— 逆向题从目标倒推平移量
。
第 5 关
解答题
换元本质
★★★☆☆
2025·陕西
为什么直线
y = kx + b
向左平移 m 个单位后，解析式中的 x 要换成 (x + m)？请说明理由。
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
O
y = 1.5x + 1
y = 1.5x + 3.2
水平移动 -1.5
📝 我已完成说理，标记通关
查看答案与解析
说理（新坐标反解旧坐标）
设新直线上任一点 (x′, y′) 由原直线上点 (x, y) 左移 m 得到 ⇒ x′ = x − m，即
x = x′ + m
。
代入原解析式：y′ = y = k(x′ + m) + b，去撇号：y = k(x + m) + b。
平移方向与代入符号永远相反 —— 这不是口诀，是换元
（与二次函数的平移完全同理）。
第 6 关
探究题
连续平移·可交换
★★★★☆
2025·陕西
直线
y = 2x + 1
。
（1）向右平移 1 个单位后的解析式为 y = ______；
（2）再向上平移 3 个单位后的解析式为 y = ______；
（3）若先向上平移 3 个单位、再向右平移 1 个单位，解析式为 y = ______。
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
O
y = 2x + 1
水平移动 1
先右移 1，再上移 3 —— 结果与顺序有关吗？
(1)
提交
(2)
提交
(3)
提交
查看答案与解析
答案：（1）y = 2x − 1（2）y = 2x + 2（3）y = 2x + 2
（1）2(x−1)+1 = 2x−1；（2）再 +3 ⇒ 2x+2；（3）先上后右：y = 2x+4 → 2(x−1)+4 = 2x+2 ——
结果一样！水平与竖直平移互不影响（可交换）
，展开式 y = kx + (b + n − km) 里两者各就各位。
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