初中数学 · 动态几何实验室

一次函数与不等式模型

kx + b > 0 的解集在哪？—— 不用算，看图象：在 x 轴上方的部分就是答案

kx + b > 0 ⇔ 图象在 x 轴上方 ⇔ x 在零点的一侧

模型同源真题 2024·江苏南京 ★★☆☆☆

如图，一次函数 y = 2x − 3 的图象与 x 轴交于点 (1.5, 0)，则不等式 2x − 3 > 0 的解集中，x 的最小整数值是 ______。

实验台 · kx + b 与 0 比大小

拖 B 改截距、拖 P 改斜率，切换不等号方向 —— 粉色阴影覆盖的 x 区间就是解集，盯住零点怎么分段

◈ 实时观测

直线—

零点 x₀ = −b/k—

增减性—

当前不等式—

解集—

零点分段，k 定方向

kx + b ≷ 0 ⇔ 图象在 x 轴上/下方

零点 x₀ = −b/k 把 x 轴分成两段；k > 0 时右段 y > 0，k < 0 时左段 y > 0 —— 大于取上方，小于取下方

口诀：一找零点二看坡，大于取上小取下

实验台 · l₁ 与 l₂ 谁在上

青线 l₁ 与粉线 l₂ 都可拖（各两点：截距 + 斜率）—— 绿色阴影是 l₁ 更高的 x 区间，交点 x₂ 是分界线

◈ 实时观测

l₁（青）—

l₂（粉）—

交点—

l₁ 更高的区间—

当前不等式解集—

交点分界，高的为大

l₁ > l₂ ⇔ l₁ 的图象在 l₂ 上方

交点 x₂ = (b₂−b₁)/(k₁−k₂) 分段；谁更「陡」谁在远端占上风 —— 平行时无交点，恒成立或恒不成立

口诀：交点分界看高低，平行无路看截距

中考真题（冲刺）

围绕「图象法解不等式」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★☆☆☆☆

2024·广东

一次函数 y = 2x − 4 的图象在 x 轴上方时，x 的取值范围是（　）

A．x > 2

B．x < 2

C．x > −2

D．x < −2

答案：A（x > 2）

零点 x₀ = −b/k = 4/2 = 2；k = 2 > 0 图象上升 ⇒ 零点右侧 y > 0 ⇒ x > 2。图象法三步：找零点 → 看增减 → 取一侧。

第 2 关填空题减函数陷阱 ★★☆☆☆

2024·广东

直线 y = −3x + 6 在 x 轴下方时，x 的取值范围是 x > ______。

答案：x > 2

零点 x₀ = 2；k = −3 < 0 图象下降 ⇒ 零点右侧 y < 0 ⇒ x > 2。⚠️ 减函数「方向反转」：小于 0 反而取右侧。代数验证：−3x + 6 < 0 ⇒ −3x < −6 ⇒ 除以负数要变号 ⇒ x > 2。

第 3 关填空题两线比较 ★★☆☆☆

2024·广东

直线 l₁: y = x + 1 与 l₂: y = −2x + 4，当 l₁ 的图象在 l₂ 上方时，x 的取值范围是 x > ______。

答案：x > 1

交点横坐标 x₂ = (b₂−b₁)/(k₁−k₂) = (4−1)/(1+2) = 1。k₁ = 1 > k₂ = −2 ⇒ l₁ 在交点右侧更高 ⇒ x > 1。代数验证：x + 1 > −2x + 4 ⇒ 3x > 3 ⇒ x > 1。

第 4 关填空题读图解不等式 ★★★☆☆

2024·广东

如图，直线 l₁：y = −2x + 5 与 l₂：y = x − 1 交于点 (2, 1)，则不等式 −2x + 5 > x − 1 的解集是 x < ______。

答案：x < 2

读图：l₁ 在交点 (2,1) 左侧位于 l₂ 上方 ⇒ 解集 x < 2。代数验证：−2x + 5 > x − 1 ⇒ −3x > −6 ⇒ 除以负数变号 ⇒ x < 2。谁陡谁衰，交点另一侧反杀 —— l₁ 下降快，右侧就被 l₂ 反超。

第 5 关解答题说理论证 ★★★☆☆

2024·广东

已知 k > 0。请用图象说明：不等式 kx + b > 0 的解集是 x > −b/k。

说理（图象法三步）

① 找零点：y = 0 时 kx + b = 0 ⇒ x₀ = −b/k（图象与 x 轴交点）；
② 看增减：k > 0 ⇒ y 随 x 的增大而增大（图象左低右高）；
③ 取一侧：当 x > x₀ 时，y > y(x₀) = 0，即图象在 x 轴上方 ⇒ kx + b > 0 的解集是 x > −b/k。

第 6 关探究题逆向思维 ★★★★☆

2024·广东

一次函数 y = kx + b 的图象经过点 (2, 0)，且 y 随 x 的增大而减小。
（1）图象与 x 轴交点的横坐标为 ______；（2）kx + b > 0 的解集是 x < ______；（3）若 b = 2，则 k = ______。

(1)

(2)

(3)

答案：（1）2（2）2（3）−1

（1）图象过 (2,0) ⇒ 零点就是 2；（2）递减 ⇒ 零点左侧 y > 0 ⇒ x < 2；（3）2k + b = 0，b = 2 ⇒ k = −1（负数，与递减吻合 ✓）。「经过 (2,0)」就是零点，「递减」就是 k<0 —— 条件翻译是探究题的第一步。