初中数学 · 动态几何实验室

一次函数的图象与性质

y = kx + b：k 管方向，b 管截距 —— 两个滑杆，各转各的轨迹

k 定方向与增减 ｜ b 定截距与平移 必过 (0, b)

模型同源真题 2024·广东深圳 ★★☆☆☆

如图，一次函数 y = kx + b 的图象经过点 (0, 3) 和 (1, 5)，则 k = ______。

实验台 · k、b 各管一摊

右侧两条滑杆：拖 k（橙）直线绕 (0,b) 旋转；拖 b（粉）平行上下平移 —— 打开「轨迹」看两类残影，再拖 B、P 直接上手

◈ 实时观测

直线—

k（方向）—

b（截距）—

x 轴交点—

经过象限—

k 定方向，b 定截距

必过 (0, b) ｜ k 正负定增减｜ b 上下平移

x = 0 时 y = b —— 图象必过 (0, b)；动 k 绕它旋转，动 b 平行搬家 —— 一次函数 y = kx 平移 |b| 而来

口诀：b 是落脚点，k 是方向盘

实验台 · y = kx + b 是 y = kx 平移而来

白线 y = kx 过原点，金线 y = kx + b —— 拖 b 滑杆看金线上下搬家，拖 k 滑杆两条一起转（同 k ⇒ 平行）

◈ 实时观测

正比例（白）—

一次函数（金）—

平移量—

两线关系—

竖直距离验证—

同 k 平行，b 是平移量

y = kx + b ⇔ y = kx 平移 |b| 个单位

同一 x 处，函数值总差 b —— 所以两线平行且竖直距离恒为 |b|；b > 0 上移，b < 0 下移

口诀：b 正上移 b 负下移，同 k 永平行

中考真题（冲刺）

围绕「k 定方向，b 定截距」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★☆☆☆☆

2024·甘肃临夏

一次函数 y = −2x + 3 的图象不经过第（　）象限。

A．一

B．二

C．三

D．四

答案：C（第三象限）

k = −2 < 0（下坡），b = 3 > 0（交 y 轴正半）⇒ 图象经过一、二、四象限，不经过第三象限。快判法：k 定坡向（\ 或 /），b 定与 y 轴交点上下。

第 2 关填空题截距直读 ★☆☆☆☆

2024·甘肃临夏

一次函数 y = 3x + m 的图象与 y 轴交于点 (0, −5)，则 m = ______。

答案：m = −5

与 y 轴交点 ⇔ x = 0 ⇒ y = m = −5。常数项就是 y 轴截距 —— b 的几何意义就在这儿。

第 3 关填空题平移变换 ★★☆☆☆

2024·甘肃临夏

把直线 y = 3x 向上平移 2 个单位，所得直线的解析式为 y = ______。

答案：y = 3x + 2

上加下减常数项：y = 3x + 2。一次函数上下平移只动 b，k 保持不变（仍然平行）。

第 4 关填空题 x轴交点 ★★☆☆☆

2024·甘肃临夏

直线 y = −x + 2 与 x 轴交点的横坐标为 ______。

答案：2

与 x 轴交点 ⇔ y = 0 ⇒ −x + 2 = 0 ⇒ x = 2。y 轴交点令 x = 0，x 轴交点令 y = 0 —— 两个截距都是「令另一半为 0」。

第 5 关解答题说理 ★★★☆☆

2024·甘肃临夏

为什么一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）的图象一定经过点 (0, b)？请说明理由。

说理（代入验证）

把 x = 0 代入解析式：y = k·0 + b = b —— 无论 k 取何值（k ≠ 0），当 x = 0 时 y 恒等于 b。
所以点 (0, b) 一定在图象上。「必过定点」类问题的通法：把使参数消失的 x 值代进去。

第 6 关探究题双截距 ★★★★☆

2024·甘肃临夏

一次函数 y = 2x − 6。
（1）图象与 y 轴交点的纵坐标为 ______；
（2）图象与 x 轴交点的横坐标为 ______；
（3）当 x 从 0 增大到 3，函数值 y 增大了 ______。

(1)

(2)

(3)

答案：（1）−6（2）3（3）6

（1）x = 0 ⇒ y = −6；（2）y = 0 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3；（3）x = 3 时 y = 0，x = 0 时 y = −6 ⇒ 增大了 0 − (−6) = 6（= k·Δx = 2×3 ✓ 增量就是 k 乘以 x 增量）。