初中数学 · 动态几何实验室

12345模型

方格网里数格子：tanα = 1/2、tanβ = 1/3 —— 两角一拼，必出 45°

tanα = ½、tanβ = ⅓ ⟹ α + β = 45°

模型同源真题 2024·辽宁大连 ★★★☆☆

如图，在方格网中，α 的正切值 tanα = ½，β 的正切值 tanβ = ⅓，则 α + β = ______。

实验台 · 方格网中的 α 与 β

拖动 B（沿底边）、C（沿右边）—— 把 tanα 调回 1/2、tanβ 调回 1/3，看 α+β 跳成 45°

◈ 实时观测

tan α（对边/邻边）½

tan β（对边/邻边）⅓

α26.6°

β18.4°

α + β（即 ∠ACB）45.0°

α + β = 45° ✓ 12345 达成！

α + β = 45°

连接 AB：AB = BC = √5，AC = √10 —— 等腰直角三角形，所以 ∠ACB = 45°

口诀：一二三四五，½、⅓ 出 45°

实验台 · 拼出 45° 的正切对

拖动两个小三角形的顶点（吸附格点）调 tanα、tanβ —— 满足 tanα+tanβ = 1−tanα·tanβ（记 t₁=tanα、t₂=tanβ，即 t₁+t₂ = 1−t₁·t₂）时，α+β 就是 45°

◈ 实时观测

记 t₁ = tanα、t₂ = tanβ —— 下面「t₁ + t₂」就是 tanα+tanβ，「1 − t₁·t₂」就是 1 − tanα·tanβ

tan α = 对边/邻边½

tan β = 对边/邻边⅓

t₁ + t₂⅚

1 − t₁·t₂⅚

α + β45.0°

t₁+t₂ = 1−t₁·t₂ ✓ α+β = 45°

α + β = 45° ⟺ t₁ + t₂ = 1 − t₁·t₂

正切加法公式：tan(α+β) = (t₁+t₂) / (1−t₁·t₂)，其中 t₁ = tanα、t₂ = tanβ；右边等于 1 时两角和就是 45°

口诀：和等于「1 减积」，两角拼出 45°

中考真题（冲刺）

围绕「12345模型 tan½+tan⅓ → 45°」与正切对拓展 · 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★☆☆☆☆

2025·北京

如图，在 2×3 的方格网中，A、B、C 均在格点上，则 ∠ACB 的度数为（　）

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 随网格大小变化

答案：B（45°）

连接 AB：数格子得 AB = BC = √5，AC = √10，满足 AB² + BC² = AC² 且 AB = BC，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB = 45°。
⚠️ 易错：想用量角器「估」—— 网格题先数格子算边长。

第 2 关填空题模型直用 ★★☆☆☆

2025·北京

如图，方格网中 tanα = ½，tanβ = ⅓，则 α + β = ______°

答案：45

12345 模型：tanα = ½、tanβ = ⅓ 时 α + β = 45°。
验证：tan(α+β) = (½+⅓) / (1−½·⅓) = (5/6) / (5/6) = 1，两锐角和为 45°。
⚠️ 易错：把 α、β 分别当成 30°、15° 之类的特殊角 —— 它们都不是特殊角，但和是。

第 3 关填空题勾股逆定理 ★★☆☆☆

2025·北京

如图，△ABC 中 AB = BC = √5，AC = √10，则 ∠ACB = ______°

√5√5√10?°

答案：45

AB² + BC² = 5 + 5 = 10 = AC²，由勾股逆定理 ∠B = 90°；又 AB = BC，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB = (180° − 90°) ÷ 2 = 45°。
⚠️ 易错：只看出等腰，漏掉验证直角 —— 两个条件缺一不可。

第 4 关填空题模型逆用 ★★★☆☆

2025·北京

已知 α、β 为锐角，α + β = 45°，tanα = ¼，则 tanβ = ______（填分数）

答案：3/5

由 α + β = 45° 得 tanβ = (1 − tanα) / (1 + tanα) = (1 − ¼) / (1 + ¼) = (3/4) / (5/4) = 3/5。
模型一句话：「和为 45°」⟺「t₁+t₂ = 1−t₁·t₂」，解出另一个即可。
⚠️ 易错：写成 1 − ¼ = ¾ —— 正切没有这种减法，要用正切差公式。

第 5 关证明题规范书写 ★★★☆☆

2025·北京

已知：2×3 方格网中 A、B、C 位置如图（每个小方格边长为 1）。
求证：∠ACB = 45°。（在草稿纸上写出完整证明，然后点击按钮标记通关）

证明：

连接 AB。由勾股定理：
AB = √(1² + 2²) = √5，BC = √(1² + 2²) = √5，AC = √(1² + 3²) = √10。
∵ AB² + BC² = 5 + 5 = 10 = AC²，∴ ∠ABC = 90°（勾股逆定理）。
又 ∵ AB = BC，∴ △ABC 是等腰直角三角形，∠ACB = 45°。证毕。

第 6 关探究题正切对家族 ★★★★☆

2025·北京

探究：α、β 均为锐角。
（1）若 tanα = ⅓，tanβ = ½，则 α + β = ______°；
（2）若 tanα = ⅕，要使 α + β = 45°，则 tanβ = ______；
（3）若 tanα = t（0 < t < 1），用含 t 的式子表示使 α + β = 45° 的 tanβ：______

(1)

(2)

(3)

答案：(1) 45　(2) 2/3　(3) tanβ = (1−t)/(1+t)

（1）½ 与 ⅓ 交换位置，和仍是 45°（正切加法与顺序无关）；
（2）tanβ = (1 − ⅕) / (1 + ⅕) = (4/5) / (6/5) = 2/3；
（3）由 tan(α+β) = (t + tanβ) / (1 − t·tanβ) = 1，解得 tanβ = (1 − t) / (1 + t)。
⚠️ 易错：第（3）问忘记考虑范围 —— 0 < t < 1 保证 tanβ 为正，β 才是锐角。

模型怎么用？

网格题看到 tan = ½ 与 tan = ⅓ 的一对角，立刻想 45°；反过来要构造 45°，就拆出 ½ 和 ⅓。

为什么要学它？

12345 是网格求角的「秒题钥匙」：中考填空、函数图象与几何综合题里高频出现，记住结论能省下大把时间。