初中数学 · 动态几何实验室

胡不归模型

拖动 P 沿公路滑动 —— 作一条 sinα = k 的射线，加权和变成垂线段

min(PA + k·PB) = A 到 BM 的距离射线 BM 满足 sinα = k（k < 1）

模型同源真题 2024·吉林长春 ★★★★★

如图，点 P 在直线 l 上运动（B 是 l 上的定点），k = sinα（k < 1）。作射线 BM 使 sinα = k，过 P 作 PC⊥BM 于 C，则 k·PB = PC。若点 A 到射线 BM 的距离为 12，则 PA + k·PB 的最小值 = ______。

实验台 · PA + k·PB 的最小值

拖动 P 沿公路滑动 —— 把 P 拖到绿色幽灵点处，加权和最小；也可拖 A、B，切换 k

◈ 实时观测

k（= sinα）0.5

PA—

k·PB（= PC）—

PA + k·PB—

最小值 = A 到 BM 的距离—

拖动 P 寻找最小值…

min(PA + k·PB) = A 到 BM 的距离

作射线 BM 使 sinα = k ⟹ PC = k·PB ⟹ 加权和 = PA + PC ≥ 垂线段 AC₀ —— 「胡不归」：化折为直，化斜为垂

口诀：胡不归来系数烦，作条射线 sin 还；垂线一段顶 k 倍，三点共线值最小

拓展 · 系数藏在图形里：k = sin 已知角

中考里射线 BM 常常已经画好（∠MBN 已知）—— 此时 k = sin∠MBN 直接读出，PC⊥BM 即得 k·PB

已知角 ∠MBN

◈ 实时观测

已知角 α30°

k = sinα—

PC / PB—

PA + k·PB—

最小值 = A 到 BM 的距离—

PC = PB·sinα = k·PB ✓

sin30° = 0.5、sin45° ≈ 0.71、sin60° ≈ 0.87

题目出现「½PB」「√2/2·PB」「√3/2·PB」时，先找图中 30°/45°/60° 角 —— 系数就藏在 sin 里

口诀：看到系数想正弦，图中有角直接用；没有角来自己造，射线一引路自通

中考真题（冲刺）

围绕「胡不归：min(PA + k·PB) = A 到构造射线的距离」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题模型构造 ★★☆☆☆

2024·广州

胡不归模型中，在 B 作射线 BM 使 sinα = k，再过 P 作 PC⊥BM 于 C，这一构造的目的是把 k·PB 转化为（　）

A．线段 PC

B．线段 PM

C．线段 BC

D．线段 PA

答案：A（线段 PC）

Rt△BPC 中 ∠C=90°：PC = PB·sinα = k·PB。加权线段变成垂线段，就能用「垂线段最短」了。

第 2 关填空题经典数据 ★★★☆☆

2024·广州

如图，B 在直线 l 上，A 到 l 的距离为 3，AB = 5（A 在 B 右上方），P 是 l 上 B 右侧一动点，则 PA + 0.6PB 的最小值 = ______。

答案：4.8

A 的水平偏移 4（勾股 3-4-5）。作 BM 使 sinα = 0.6（cosα = 0.8），最小值 = A 到 BM 的距离 = |4×0.6 + 3×0.8| = 2.4+2.4 = 4.8。

第 3 关填空题最优点位置 ★★★☆☆

2024·广州

同上题数据（AB = 5，A 到 l 距离 3，k = 0.6），当 PA + 0.6PB 取最小值时，BP = ______。

答案：1.75

最优时 A、P、C 共线且 AC⊥BM。AP = 3/cosα = 3/0.8 = 3.75；P 横坐标 = 4 − 3.75×0.6 = 1.75 ⟹ BP = 1.75。

第 4 关单选题易错辨析 ★★★☆☆

2024·广州

若 k > 1（P 在直线 l 上运动），则 PA + k·PB 的最小值（　）

A．仍等于 A 到构造射线的距离

B．在 P = B 处取得，值为 AB

C．不存在

D．等于 k·AB

答案：B

k > 1 时 sinα = k 无解 —— 模型失效！此时加权和在射线上单调递增，最小值在端点 P = B 处取得，值为 AB。所以胡不归题中必有 k < 1。

第 5 关填空题识别已有角 ★★★☆☆

2024·广州

如图，∠MBN = 30°，P 是射线 BN 上一动点，A 为定点且 A 到射线 BM 的距离为 6，则 PA + ½PB 的最小值 = ______。

答案：6

½ = sin30°：过 P 作 PC⊥BM 于 C，则 PC = ½PB ⟹ PA+½PB = PA+PC ≥ A 到 BM 的距离 = 6。角是现成的，直接用！

第 6 关单选题取等条件 ★★★★☆

2024·广州

当 PA + k·PB 取得最小值时，必定成立的是（　）

A．PA = PB

B．A、P、C 三点共线（且 AC⊥BM）

C．P 与 B 重合

D．∠APB = 90°

答案：B

取等条件 = 「PA+PC ≥ AC₀」的取等条件：A、P、C 共线，且这条线 ⟂ BM（垂线段最短）。此时 P 是 l 与「过 A 垂直 BM 的直线」的交点。