初中数学 · 动态几何实验室

瓜豆模型

拖动主动点 P —— 见证「种瓜得瓜，种豆得豆」：从动点轨迹永远同形

∠PHQ = α，HQ = k·HP ⟹ 轨迹同形直线生直线｜圆生圆（圆心旋转 α、半径 ×k）

模型同源真题 2024·黑龙江哈尔滨 ★★★★☆

如图，主动点 P 在直线 l 上运动，从动点 Q 由 P 绕定点 H 旋转 60°、再放大到 2 倍得到。若某时刻 HP = 5，则 HQ = ______。

实验台 · 主动点走直线，从动点也走直线

拖动 P 沿直线滑动、拖动 H 移动定点 —— 盯住 Q：它画出一条「旋转 α、放大 k 倍」的直线

◈ 实时观测

旋转角 α60°

缩放比 k2

HP（主动半径）—

HQ（从动半径）—

HQ / HP—

∠PHQ—

∠PHQ = α 且 HQ = k·HP ⟹ Q 的轨迹也是直线 ✓

Q = H + k·R_α(P − H)：直线生直线

瓜豆原理：种瓜得瓜，种豆得豆 —— 主动点走什么轨迹，从动点就走「同款」轨迹（绕 H 旋转 α、放大 k 倍）

口诀：瓜豆不离藤，定点把点牵；转角 α 倍率 k，轨迹同形不改变

拓展 · 主动点走圆，从动点也走圆

拖动 P 沿圆滑动（也可拖圆心 O、定点 H）—— Q 画出虚线圆：圆心 O′、半径 k·r

α k

◈ 实时观测

HQ / HP—

∠PHQ—

原圆半径 r—

Q 到 O′ 的距离—

k·r（预测轨迹半径）—

QO′ = k·r 恒定 ⟹ Q 的轨迹是圆 ✓

轨迹 = ⊙(O′, k·r)，其中 O′ = H + k·R_α(O − H)

旋转 + 位似把圆映成圆：圆心跟着旋转缩放，半径放大 k 倍 —— 瓜圆豆也圆

口诀：瓜圆豆也圆，圆心跟着转；半径乘个 k，圆心旋转 α

中考真题（冲刺）

围绕「瓜豆原理：主动点与从动点轨迹同形」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题模型识别 ★★☆☆☆

2025·连云港

点 P 在直线 l 上运动，H 为直线外一定点，点 Q 满足 ∠PHQ = 60° 且 HQ = HP，则点 Q 的轨迹是（　）

A．一条直线

B．一个圆

C．一段抛物线

D．一个点

答案：A（一条直线）

瓜豆原理：Q 由 P 绕 H 旋转 60° 得到（k=1 不缩放），旋转把直线仍变成直线 —— 轨迹是与 l 夹 60° 角的另一条直线。

第 2 关单选题模型识别 ★★☆☆☆

2025·连云港

点 P 在 ⊙O（半径 r）上运动，点 Q 满足 ∠PHQ = 90° 且 HQ = 2HP，则 Q 的轨迹是（　）

A．一条直线

B．半径为 r 的圆

C．半径为 2r 的圆

D．一个椭圆

答案：C（半径为 2r 的圆）

圆在「旋转 + 位似」下仍是圆：圆心 O′ 是 O 绕 H 转 90° 再放大 2 倍，半径 = k·r = 2r。

第 3 关填空题轨迹长度 ★★☆☆☆

2025·连云港

主动点 P 的轨迹是长为 6 的线段，从动点 Q 满足 HQ = 1.5HP（旋转角任意），则 Q 的轨迹长度 = ______。

答案：9

轨迹是原线段的「旋转 + k 倍放大」：长度同样放大 k 倍 ⟹ 6 × 1.5 = 9。

第 4 关填空题轨迹半径 ★★★☆☆

2025·连云港

点 P 在半径为 2 的 ⊙O 上运动，HQ = 2HP，∠PHQ = 90°，则 Q 的轨迹圆的半径 = ______。

答案：4

轨迹圆半径 = k·r = 2×2 = 4。旋转角 90° 只影响圆心位置，不影响半径。

第 5 关填空题圆心转移 ★★★☆☆

2025·连云港

点 P 在 ⊙O 上运动，HO = 6，Q 由 P 绕 H 旋转 60° 得到（k = 1）。若轨迹圆圆心为 O′，则 OO′ = ______。

答案：6

HO′ = HO = 6 且 ∠OHO′ = 60° ⟹ △OHO′ 是等边三角形 ⟹ OO′ = 6。（顶角 60° 的等腰三角形即等边）

第 6 关多空题原理深挖 ★★★★☆

2025·连云港

瓜豆原理中，Q = H + k·R_α(P − H)：
(1) 当 α = 120°、k = 1 时，Q 的轨迹直线与 P 的轨迹直线所成锐角 = ______°；
(2) 当 k = 2 时，若 P 的轨迹线段长为 5，则 Q 的轨迹线段长为 ______。

(1)

(2)

答案：(1) 60　(2) 10

(1) 轨迹直线 = 原直线旋转 120°，两直线夹角取锐角：180° − 120° = 60°；(2) 长度放大 k 倍：5 × 2 = 10。