初中数学 · 动态几何实验室

阿氏圆模型

P 在圆上跑，PA + k·PB 的最小值 —— 构造一个点 C，把 k·PB 变成 PC

OC = k·r ⇒ △OPC ∽ △OBP ⇒ PC = k·PB ⇒ 和 ≥ AC

模型同源真题 2024·福建厦门 ★★★★★

如图，点 P 在 ⊙O 上运动，A、B 为定点。构造点 C 使得 PC = k·PB 恒成立。若 AC = 11，则 PA + k·PB 的最小值 = ______。

实验台 · PA + k·PB 最小值

拖 P 沿圆滑动，拖 A 换位置，拖右侧滑杆改 k（OB = r/k 自动跟随）—— 图中长度以 r = 4 为单位；绿色 C 是构造点，「跳到最优」看 P 落到 AC 上

◈ 实时观测

k ｜ OB = r/k—

构造点 OC = k·r—

PC ｜ k·PB（相等验证）—

PA + k·PB（当前）—

最小值 = AC—

当前差距—

构造相似 ⇒ PC = k·PB

PA + k·PB = PA + PC ≥ AC（最小值 = AC）

带系数的线段和没法直接「两点之间线段最短」—— 用相似把系数 k 造进图里：OC = k·r ⇒ PC = k·PB

口诀：圆上动点带系数，半径平方造相似

实验台 · k > 1 怎么办？

k 大于 1 就「提 k 换角色」：PA + k·PB = k(PB + PA/k)—— 在 OA 上构造 C′（OC′ = r/k），拖滑杆和 B 验证

◈ 实时观测

k ｜ 1/k—

构造点 OC′ = r/k—

PC′ ｜ PA/k（相等验证）—

PA + k·PB（当前）—

最小值 = k·BC′—

当前差距—

提 k 换角色 ⇒ 回到 k<1

PA + k·PB = k(PB + PA/k) ≥ k·BC′

k > 1 不慌：把 k 提出来，系数变成 1/k < 1 —— 角色互换（A 当「远点」），同一套构造

口诀：大于一，提出来，角色一换照章来

中考真题（冲刺）

围绕「构造相似 ⇒ PC = k·PB ⇒ 和 ≥ AC」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★☆☆☆☆

2026·甘肃兰州

用阿氏圆模型求 PA + k·PB 的最小值时，构造点 C 的位置是（　）

A．射线 OB 上，且 OC = k·r

B．射线 OA 上，且 OC = k·r

C．圆 O 上，且 OC = k·r

D．线段 AB 的中点

答案：A（射线 OB 上，OC = k·r）

C 必须取在「系数点 B 那一侧」的射线 OB 上，且 OC = k·r（即 OC = r²/OB）—— 这样 OC/OP = OP/OB，才能与公共角 ∠POC = ∠BOP 凑出两边对应成比例且夹角相等（相似）。

第 2 关填空题构造计算 ★★☆☆☆

2026·甘肃兰州

如图，⊙O 半径为 4，OB = 8，P 在圆上。求 PA + ½PB 的最小值时，构造点 C 应满足 OC = ______。

答案：OC = 2

k = r/OB = 4/8 = ½ ⇒ OC = k·r = ½ × 4 = 2（也可直接记 OC = r²/OB = 16/8 = 2）。系数 k 由圆和 B 决定：k = r/OB。

第 3 关填空题共线特例 ★★★☆☆

2026·甘肃兰州

如图，⊙O 半径为 3，OB = 6，A 在射线 BO 的反向延长线上且 OA = 4，则 PA + ½PB 的最小值为 ______。

答案：5.5

k = r/OB = ½，OC = k·r = 1.5。A 与 C 分居 O 两侧且共线 ⇒ AC = OA + OC = 4 + 1.5 = 5.5。最小值就是 AC —— 构造之后，剩下的只是一条线段的长度。

第 4 关填空题相似比 ★★☆☆☆

2026·甘肃兰州

如图构型，OC = 2，OP = 4，OB = 8，则 PC/PB = ______。

答案：0.5

△OPC ∽ △OBP（OC/OP = OP/OB = ½，夹角公共）⇒ PC/PB = OC/OP = 2/4 = 0.5。相似比同时是 OC/OP、OP/OB、PC/PB —— 三个身份一个数。

第 5 关解答题证明 ★★★☆☆

2026·甘肃兰州

如图，P 在 ⊙O 上，C 在射线 OB 上且 OC·OB = OP²。求证：△OPC ∽ △OBP。

证明（两边对应成比例且夹角相等）

∵ OC·OB = OP²，∴ OC/OP = OP/OB。
又 ∵ ∠POC = ∠BOP（公共角），
∴ △OPC ∽ △OBP（两边对应成比例且夹角相等）。
⇒ PC/PB = OP/OB，即 PC = (r/OB)·PB —— 系数就这么「造」出来了。

第 6 关探究题完整链条 ★★★★☆

2026·甘肃兰州

如图，⊙O 半径为 4，OB = 8，A 在射线 BO 的反向延长线上且 OA = 5。
（1）k = ______；（2）OC = ______；（3）PA + k·PB 的最小值为 ______。

(1)

(2)

(3)

答案：（1）0.5（2）2（3）7

（1）k = r/OB = 4/8 = 0.5；（2）OC = k·r = 2；（3）A、O、C 共线 ⇒ AC = OA + OC = 5 + 2 = 7。三步链条：k = r/OB → OC = k·r → 最小值 = AC —— 背图不如背链。