初中数学 · 动态几何实验室

二倍角模型

切换 β、拖动 B、C —— 见证「二倍角 ⟺ AB² = AC·(AC+BC)」的平方守恒

∠ACB = 2∠ABC ⟺ AB² = AC·(AC+BC) 延长造等腰 → 母子相似｜平分线法：CD=DB 且 AC²=AB·AD

模型同源真题 2024·河北石家庄中 ★★★★☆

如图，△ABC 中，∠ACB = 2∠ABC。若 AC = 4，BC = 5，则 AB² = ______。

实验台 · ∠ACB = 2∠ABC 的三角形

切换 β，拖动 B、C 改变边长 —— 盯住 AB² 与 AC² + AC·BC

◈ 实时观测

∠ABC = β25°

∠ACB = 2β50°

AB²—

AC² + AC·BC—

AC · AD（=AC·(AC+BC)）—

AB² = AC² + AC·BC ✓

∠ACB = 2∠ABC ⟺ AB² = AC·(AC + BC)

延长 AC 至 D 使 CD = BC：外角 2β 被拆成两个 β —— ∠D = β = ∠ABC，加上公共角 ∠A，△ACB ∽ △ABD

口诀：二倍角，延长造等腰；外角一拆两小角，母子相似平方到

实验台 · 证法二：作 ∠C 的平分线

CD 平分 ∠ACB 交 AB 于 D —— ∠DCB = β = ∠B ⟹ CD = DB，还有一对母子相似

◈ 实时观测

CD—

DB—

AC²—

AB·AD—

△ACD ∽ △ABC 相似比—

CD = DB 且 AC² = AB·AD ✓

CD = DB ｜ AC² = AB·AD

平分二倍角 ⟹ ∠DCB = β = ∠B ⟹ CD = DB；又 ∠ACD = β = ∠B 且 ∠A 公共 ⟹ △ACD ∽ △ABC（母子相似）

口诀：二倍角，平分也行；半角一出等腰现，母子相似跟着来

中考真题（冲刺）

围绕「二倍角 ⟺ AB² = AC·(AC+BC)」与两种辅助线 · 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★★☆☆☆

2023·山西

如图，△ABC 中 ∠ACB = 2∠ABC，AC = 4，BC = 5，则 AB 的长是（　）

A．5

B．6

C．7

D．8

答案：B（6）

AB² = AC·(AC+BC) = 4×9 = 36 ⟹ AB = 6。二倍角结论一步出答案。

第 2 关填空题直击中考 ★★☆☆☆

2023·山西

△ABC 中 ∠ACB = 2∠ABC，AC = 3，BC = 7，则 AB² = ______。

答案：30

AB² = 3×(3+7) = 30。不开方，直接留平方 —— 很多题目要的就是 AB²。

第 3 关解答题中考经典题 ★★★☆☆

2023·山西

如图，△ABC 中 ∠ACB = 2∠ABC。
求证：AB² = AC² + AC·BC。

证明（延长造等腰）

延长 AC 至 D，使 CD = BC，连 BD。
① 等腰△BCD：∠D = ∠CBD；外角 ∠ACB = ∠D + ∠CBD = 2∠D，又 ∠ACB = 2∠ABC ⟹ ∠D = ∠ABC；
② 又 ∠A = ∠A ⟹ △ACB ∽ △ABD（AA）；
③ AC/AB = AB/AD ⟹ AB² = AC·AD = AC·(AC+CD) = AC·(AC+BC)。证毕。

第 4 关填空题逆向求边 ★★★☆☆

2023·山西

△ABC 中 ∠ACB = 2∠ABC，AB = 6，BC = 5，则 AC = ______。

答案：AC = 4

设 AC = x：x(x+5) = 36 ⟹ x² + 5x − 36 = 0 ⟹ (x−4)(x+9) = 0 ⟹ x = 4（舍负）。逆向用结论，一元二次方程收尾。

第 5 关填空题平分线法 · 拓展 ★★★★☆

2023·山西

△ABC 中 ∠ACB = 2∠ABC，CD 平分 ∠ACB 交 AB 于 D。若 AC = 4，BC = 5，则 AD·AB = ______。

答案：16

母子相似 △ACD ∽ △ABC（∠ACD=β=∠B，∠A 公共）⟹ AC² = AD·AB = 16。不用求出任何一边！

第 6 关规律探究中考复习讲义 ★★★☆☆

2023·山西

△ABC 中 ∠ACB = 2∠ABC，记 BC = a，AC = b，AB = c。
(1) 用 a、b 表示 c² = ______；
(2) 延长 AC 至 D 使 CD = BC，则 △ACB 与 △ABD 的相似比 AC : AB = AB : AD，故 AD = ______（用 c²、b 表示，如 c*c/b）；
(3) 若 a = b（即 BC = AC），则 ∠BAC = ______°（填数值）。

(1)

(2)

(3)

答案：(1) b(a+b)　(2) c²/b　(3) 45

(1) 模型结论 c² = b(a+b)；(2) 由相似 AC/AB = AB/AD ⟹ AD = c²/b；代入 c² = b(a+b) 得 AD = a+b —— 与「AD = AC+CD = b+a」自洽 ✓；(3) a=b ⟹ ∠BAC = ∠B = β，内角和 β+β+2β = 4β = 180° ⟹ β = 45°，即 ∠BAC = 45°。

◈ 模型识别

三角形中「一个角是另一个角的两倍」求边长关系 —— 两条路：延长造等腰（外角拆半）或作平分线（直接拆半），都通向母子相似。

◈ 破题口诀

「二倍角，延长造等腰；外角一拆两小角，母子相似平方到」。AB² = AC·(AC+BC)，看到二倍角直接写。