中考真题（冲刺）
围绕「托勒密定理：AC·BD = AB·CD + AD·BC」· 做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关
概念理解
定理内容
★★☆☆☆
改编自中考拓展热点模型（托勒密定理：圆内接四边形对角线乘积=两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC；多见于中考二轮培优、模考与竞赛拓展，课本未单列定理；注：查无中考真题原题）
圆内接四边形 ABCD，托勒密定理指出（ ）
A．AC·BD = AB·CD + AD·BC
B．AC·BD = AB·CD − AD·BC
C．AC+BD = AB+CD+AD+BC
D．AC²+BD² = AB²+CD²
答案：A
对角线乘积 = 两组对边乘积之和：AC·BD = AB·CD + AD·BC。
第 2 关
填空题
正方形特例
★★☆☆☆
改编自中考拓展热点模型（托勒密定理：圆内接四边形对角线乘积=两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC；多见于中考二轮培优、模考与竞赛拓展，课本未单列定理；注：查无中考真题原题）
正方形 ABCD 边长为 6，则 AC·BD = ______（用托勒密定理口算）。
答案：72
AC·BD = AB·CD+AD·BC = 6×6+6×6 = 72。（验证：对角线 6√2，乘积 72 ✓）
第 3 关
填空题
等腰梯形
★★★☆☆
改编自中考拓展热点模型（托勒密定理：圆内接四边形对角线乘积=两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC；多见于中考二轮培优、模考与竞赛拓展，课本未单列定理；注：查无中考真题原题）
等腰梯形 ABCD（必有外接圆）中 AB = CD = 5，AD = BC = 7，对角线 AC = BD，则 AC² = ______。
答案：74
托勒密：AC·BD = AC² = 5×5 + 7×7 = 25+49 = 74。
第 4 关
填空题
反求对角线
★★★☆☆
改编自中考拓展热点模型（托勒密定理：圆内接四边形对角线乘积=两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC；多见于中考二轮培优、模考与竞赛拓展，课本未单列定理；注：查无中考真题原题）
圆内接四边形 ABCD 中，AB·CD + AD·BC = 50，对角线 BD = 10，则 AC = ______。
答案：5
AC·BD = 50 ⟹ AC = 50÷10 = 5。
第 5 关
判断说理
不等式方向
★★★☆☆
改编自中考拓展热点模型（托勒密定理：圆内接四边形对角线乘积=两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC；多见于中考二轮培优、模考与竞赛拓展，课本未单列定理；注：查无中考真题原题）
四边形 ABCD 不共圆时，AB·CD+AD·BC 与 AC·BD 的大小关系是（ ）
A．前者 > 后者（严格大于）
B．前者 < 后者
C．仍相等
D．不确定
答案：A
托勒密不等式：任意四边形 AB·CD+AD·BC ≥ AC·BD，等号 ⟺ 四点共圆。
第 6 关
综合探究
三步推理
★★★★★
改编自中考拓展热点模型（托勒密定理：圆内接四边形对角线乘积=两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC；多见于中考二轮培优、模考与竞赛拓展，课本未单列定理；注：查无中考真题原题）
圆内接四边形 ABCD，在 BD 上取 K 使 ∠BAK = ∠CAD，得 △ABK ∽ △ACD、△ABC ∽ △AKD。已知 AC = 8，BK = 3。
(1) AB·CD = AC·BK = ______；
(2) 若 AD·BC = 16，则 DK = ______；
(3) BD = ______。
(1)
(2)
(3)
答案：(1) 24 (2) 2 (3) 5
(1) AB·CD = AC·BK = 8×3 = 24；(2) AD·BC = AC·DK ⟹ 16 = 8·DK ⟹ DK = 2；(3) BD = BK+DK = 5。