初中数学 · 动态几何实验室

手拉手相似模型

切换旋转角与缩放比 —— 大手拉小手，拉手线永远成比例

△ABC∽△ADE ⟹ △ABD ∽ △ACE ｜ BD/CE = AB/AC 夹角 = ∠BAC ｜等腰+k=1 则全等

模型同源真题 2024·云南昆明 ★★★★☆

如图，△ABD 与 △ACE 共顶点 A，且 △ABD ∽ △ACE（手拉手相似）。若 AB = 4，AC = 6，BD = 10，则 CE = ______。

实验台 · 共顶点旋转相似，一拉就出第二对相似

拖动 A、B、C 改变大三角形，或切换旋转角 θ 与缩放 k —— 盯住拉手线 BD、CE：BD/CE = AB/AC 恒成立，夹角恒等于 ∠BAC。点「🎯 题设 4·6·10」即把模型摆到顶部真题的状态（AB=4、AC=6、BD=10 ⟹ CE=15）

◈ 实时观测

AB / AC—

AD / AE—

BD / CE（拉手线比）—

BD 与 CE 夹角 vs ∠BAC—

AB · AC（长度）—

BD · CE（长度）—

题设 4 · 6 · 10 ⟹ CE—

△ABC∽△ADE ⟹ △ABD∽△ACE ✓

△ABD ∽ △ACE ⟹ BD/CE = AB/AC，夹角 = ∠BAC

共顶点 A 的旋转相似：∠BAD = ∠CAE（同加公共角）+ AB/AC = AD/AE ⟹ 两边对应成比例且夹角相等（相似） —— 大手拉小手，一拉拉一对

口诀：共点旋转相似形，拉手两线比相等；夹角恰为顶角数，全等相似一家亲

拓展 · 等腰手拉手：k=1 纯旋转 ⟹ 全等

拖动 A 平移、拖 B/C 改腰长（自动保持等腰），或切换旋转角 —— △ABD ≌ △ACE，BD = CE 恒等

旋转角 θ

◈ 实时观测

BD—

CE—

BD − CE—

BD 与 CE 夹角 vs ∠BAC—

AB = AC 且 k = 1 ⟹ △ABD ≌ △ACE（SAS）⟹ BD = CE ✓

BD = CE（旋转全等）

等腰（AB = AC）+ k=1 ⟹ AB = AC、AD = AE、∠BAD = ∠CAE ⟹ △ABD ≌ △ACE（SAS）⟹ 拉手线等长

口诀：等边共点手拉手，拉手线段必等长

中考真题（冲刺）

围绕「手拉手：共顶点旋转相似 ⟹ △ABD∽△ACE」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题模型识别 ★★☆☆☆

2025·安徽

△ABC ∽ △ADE（共顶点 A），连接 BD、CE，则另一对相似三角形是（　）

A．△ABD ∽ △ACE

B．△ABE ∽ △ACD

C．△BDE ∽ △CDE

D．△ABD ∽ △AEC

答案：A（△ABD ∽ △ACE）

对应顺序：B↔C、D↔E。⚠️ D 选项顶点顺序写错（BD 应对应 CE 而非 EC 方向的写法）。

第 2 关填空题比例应用 ★★☆☆☆

2025·安徽

手拉手相似中，AB : AC = 2 : 3，BD = 4，则 CE = ______。

答案：6

BD/CE = AB/AC = 2/3 ⟹ CE = 4×3/2 = 6。

第 3 关填空题比例应用 ★★★☆☆

2025·安徽

手拉手相似中，AB = 6，AC = 4，CE = 3，则 BD = ______。

答案：4.5

BD = CE×(AB/AC) = 3×1.5 = 4.5。

第 4 关填空题夹角结论 ★★★☆☆

2025·安徽

手拉手相似中，∠BAC = 50°，则拉手线 BD 与 CE 相交所成锐角 = ______°。

答案：50

旋转相似保持夹角：BD 与 CE 的夹角 = ∠BAC = 50°。

第 5 关填空题全等特例 ★★★☆☆

2025·安徽

等腰手拉手：△ABC 中 AB = AC，△ADE 由 △ABC 绕 A 旋转 60° 得到（不缩放）。若 CE = 7，则 BD = ______。

答案：7

AB = AC 且 AD = AE，∠BAD = ∠CAE ⟹ △ABD ≌ △ACE（SAS）⟹ BD = CE = 7。⚠️ 没有等腰条件时不成立！

第 6 关证明题相似证明 ★★★★☆

2025·安徽

△ABC ∽ △ADE（共顶点 A）。
求证：△ABD ∽ △ACE。

证明

由已知相似：AB/AC = AD/AE，且 ∠BAC = ∠DAE。两边同加（或同减）∠DAC ⟹ ∠BAD = ∠CAE。于是 △ABD 与 △ACE：两边对应成比例且夹角相等 ⟹ △ABD ∽ △ACE。证毕。