初中数学 · 动态几何实验室

一线三等角相似模型

直线 l 上 B、C、D 三点，∠ABC = ∠ACE = ∠CDE = α —— 一条线上三个等角，必出相似

∠B = ∠ACE = ∠D = α ⟹ △ABC ∽ △CDE ｜ C 为 BD 中点时 △ABC ∽ △CDE ∽ △ACE，BC² = AB·DE

模型同源真题 2024·山西太原 ★★★☆☆

如图，点 B、C、D 在同一直线上，∠B = ∠ACE = ∠D = 90°。若 AB = 2，BC = 3，CD = 6，则 DE = ______。

实验台 · 一条线上三个等角

拖 A 沿射线调边长，拖 C 在直线 l 上换位置，滑杆调 α；点「特殊点」让 C 变成 BD 中点 —— 第三个相似三角形登场

α = 90°

◈ 实时观测

α = ∠B = ∠ACE = ∠D—

∠BAC（△ABC）—

∠ACB（△ABC）—

∠ECD（平角剩余）—

∠CED（△CDE）—

关键等角—

相似比 AB : CD—

BC² 与 AB·DE—

—

∠B = ∠ACE = ∠D = α ⟹ △ABC ∽ △CDE

平角拆角 + 三角形内角和 ⟹ ∠ACB = ∠CED，两角对应相等，相似成立 ⟹ AB/CD = BC/DE = AC/CE

口诀：一线三个等角站，平角一拆等角现；中点若把 BD 分，三方相似平方见

实验台 · α = 90° 的坐标化（K 字型）

拖 A 沿 y 轴调高矮，拖 C、D 沿 x 轴换位置 —— 三个直角站在 x 轴上，DE = BC·CD / AB 直接口算

◈ 实时观测

AB（A 的高度）—

BC—

CD—

DE = BC·CD / AB—

验证 AB/CD vs BC/DE—

E 的坐标—

α = 90°：一线三垂直，即大名鼎鼎的 K 字型

一线三垂直：DE = BC·CD / AB —— 竖边之积 = 横边之积

α = 90° 时三个角都是直角，两三角形都是直角三角形：AB·DE = BC·CD（交叉相乘）。压轴题在坐标系里构造 K 型求点坐标，用的就是这一手

口诀：三垂直，K 字型；竖乘竖，等于横乘横

中考真题（冲刺）

围绕「平角拆角 · AA 相似 · 中点平方 · K 型坐标」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题平角拆角★☆☆☆☆

2023·山东东营

如图，B、C、D 在直线 l 上，∠ABC = ∠ACE = ∠CDE = 50°，∠BAC = 70°，则 ∠CED =（　）

A．50°

B．60°

C．70°

D．80°

答案：B（60°）

△ABC 中：∠ACB = 180° − 50° − 70° = 60°；
直线 l 上平角拆解：∠ECD = 180° − 50° − 60° = 70°；
△CDE 中：∠CED = 180° − 50° − 70° = 60°。
⚠️ 其实就是模型结论 ∠CED = ∠ACB —— 拆两次 180° 不如记一句「平角拆角出等角」。

第 2 关填空题比例式求边★★☆☆☆

2023·山东东营

如图，B、C、D 在直线 l 上，∠ABC = ∠ACE = ∠CDE，AB = 4，BC = 3，CD = 6，则 DE = ______。

答案：4.5

△ABC ∽ △CDE ⟹ AB/CD = BC/DE ⟹ 4/6 = 3/DE ⟹ DE = 3×6÷4 = 4.5。
⚠️ 对应边别找错：∠B = ∠D（同为 α）所以 AB 对 CD、BC 对 DE、AC 对 CE —— 等角的两条夹边互相对应。

第 3 关填空题平角定义★★☆☆☆

2023·山东东营

如图，B、C、D 在直线 l 上，∠ACE = 65°，∠ACB = 55°，则 ∠ECD = ______°。

答案：60

B、C、D 共线 ⟹ ∠BCD 是平角 180°：∠ECD = 180° − ∠ACE − ∠ACB = 180° − 65° − 55° = 60°。
⚠️ 这就是模型的第一步「平角拆角」—— 三个角拼成一条直线，见线就想 180°。

第 4 关填空题中点平方结论★★★★☆

2023·山东东营

如图，B、C、D 在直线 l 上，∠ABC = ∠ACE = ∠CDE，且 C 是 BD 的中点。若 AB = 2，DE = 8，则 BC = ______。

答案：4

△ABC ∽ △CDE ⟹ AB/CD = BC/DE ⟹ AB·DE = BC·CD。C 是中点 ⟹ CD = BC，代入：BC² = AB·DE = 2×8 = 16 ⟹ BC = 4。
⚠️ 中点结论「BC² = AB·DE」是选择填空秒杀手，但解答题要写出「相似 → 比例 → 代入中点」的完整链条。

第 5 关解答题相似判定说理★★★★☆

2023·山东东营

如图，B、C、D 在直线 l 上，∠ABC = ∠ACE = ∠CDE = α。请说明：为什么 ∠ACB = ∠CED（从而 △ABC ∽ △CDE）。

说明（平角 + 内角和，两边一减等角现）

① B、C、D 共线：∠ACB + ∠ACE + ∠ECD = 180° ⟹ ∠ACB = 180° − α − ∠ECD；
② △CDE 内角和：∠CED + ∠CDE + ∠ECD = 180° ⟹ ∠CED = 180° − α − ∠ECD；
③ 两式右边相同 ⟹ ∠ACB = ∠CED。又 ∠ABC = ∠CDE = α，两角对应相等 ⟹ △ABC ∽ △CDE（AA）。
⚠️ 对应顶点：B↔D（等角 α）、C↔E（刚证的等角）、A↔C —— 写相似符号时顺序别乱：△ABC∽△CDE。

第 6 关探究题K 型坐标化★★★★★

2023·山东东营

如图，平面直角坐标系中 A(0, 3)，B(0, 0)，C(4, 0)，D(10, 0)，点 E 在 D 的正上方，且 ∠ACE = 90°（一线三垂直）。
（1）DE = ______；
（2）CE = ______；
（3）△ABC 与 △CDE 的相似比（小 : 大）= ______。

(1)

(2)

(3)

答案：（1）8（2）10（3）1/2

（1）K 型公式：DE = BC·CD/AB = 4×6÷3 = 8 ⟹ E(10, 8)；
（2）CE = √(CD² + DE²) = √(36+64) = 10；
（3）AB : CD = 3 : 6 = 1 : 2（验：AC = 5，CE = 10，同为 1 : 2 ✓）。
⚠️ 易错：E 的横坐标与 D 相同都是 10 —— 「D 的正上方」就是 x 坐标不变；K 型里竖边乘积 = 横边乘积：AB·DE = BC·CD。