初中数学 · 动态几何实验室

母子模型

拖动 A、B、C、D、E —— 共角加一组等角，反 A 相似出乘积式

△ADE ∽ △ACB ⟹ AB·AD = AE·AC 反 A 型交叉对应｜拓展：射影定理

模型同源真题 2024·江西南昌 ★★★★☆

如图，△ABC 中，点 D 在 AB 上、E 在 AC 上，且 ∠ADE = ∠ACB。若 AD = 4，AC = 9，AE = 6，则 AB = ______。

实验台 · 共角 + 一组等角 ⟹ 反 A 相似

A、B、C 自由拖动，D 沿 AB、E 沿 AC（两者联动保持 ∠ADE = ∠C，AD·AB = AE·AC）；画布数字即各边长

◈ 实时观测

∠ADE—

∠ACB—

AB · AD—

AE · AC—

相似比 AD/AC—

△ADE ∽ △ACB ⟹ AB·AD = AE·AC ✓

△ADE ∽ △ACB ⟹ AB·AD = AE·AC

共角 ∠A + ∠ADE = ∠C ⟹ 反 A 相似（交叉对应：D↔C、E↔B）⟹ AD/AC = AE/AB ⟹ 乘积式 —— 母子模型

口诀：母子共角反 A 形，交叉对应要记清；母边乘子边相等，乘积一出万事灵

拓展 · 直角母子 ⟹ 射影定理

拖动 C（沿半圆，∠ACB 恒为 90°）—— CD⊥AB 时：AC² = AD·AB、BC² = BD·AB、CD² = AD·BD

◈ 实时观测

AC² 与 AD·AB—

BC² 与 BD·AB—

CD² 与 AD·BD—

三组母子相似 ⟹ 三个射影公式 ✓

AC² = AD·AB ｜ BC² = BD·AB ｜ CD² = AD·BD

∠ACB = 90° + CD⊥AB ⟹ △ACD∽△ABC∽△CBD —— 三个直角三角形两两母子相似，射影定理三连

口诀：直角斜边作高线，母子相似一连串；平方等于两段积，射影定理记心间

中考真题（冲刺）

围绕「母子模型：共角 + 等角 ⟹ 反 A 相似 ⟹ 乘积式」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题相似判定 ★★☆☆☆

2024·山东德州

如图，D 在 AB 上、E 在 AC 上，∠ADE = ∠ACB，则 △ADE 相似于（　）

A．△ACB

B．△ABC

C．△BAC

D．△CBA

答案：A（△ACB）

对应顶点要交叉：∠A 公共（A↔A），∠ADE = ∠C（D↔C），∠AED = ∠B（E↔B）⟹ △ADE ∽ △ACB。顺序写错是中考常见失分点！

第 2 关填空题乘积式应用 ★★☆☆☆

2024·山东德州

母子构型中，AB = 6，AC = 4，AD = 3，则 AE = ______。

答案：4.5

AB·AD = AE·AC ⟹ 6×3 = AE×4 ⟹ AE = 4.5。

第 3 关填空题乘积式应用 ★★★☆☆

2024·山东德州

母子构型中，AB = 8，AC = 6，AE = 4，则 AD = ______。

答案：3

8·AD = 4×6 ⟹ AD = 3。⚠️ 注意是交叉乘积：AB 配 AD，AC 配 AE。

第 4 关填空题射影定理 ★★★☆☆

2024·山东德州

Rt△ABC 中 ∠ACB = 90°，CD⊥AB 于 D，AC = 6，AB = 10，则 AD = ______。

答案：3.6

射影定理（直角母子）：AC² = AD·AB ⟹ 36 = 10·AD ⟹ AD = 3.6。

第 5 关填空题射影定理 ★★★☆☆

2024·山东德州

Rt△ABC 中 ∠ACB = 90°，CD⊥AB 于 D，AD = 2，BD = 8，则 CD = ______。

答案：4

CD² = AD·BD = 2×8 = 16 ⟹ CD = 4。（△ACD ∽ △CBD 的乘积式）

第 6 关证明题延长线情形 ★★★★☆

2024·山东德州

如图，D 在 AB 的延长线上，E 在 AC 上，∠ADE = ∠ACB。
求证：AB·AD = AE·AC。

证明

∠DAE = ∠CAB（同一个角），∠ADE = ∠ACB（已知）⟹ △ADE ∽ △ACB（AA）⟹ AD/AC = AE/AB ⟹ 交叉相乘 AB·AD = AE·AC。延长线上结论照样成立 —— 这正是母子模型的顽强之处。