初中数学 · 动态几何实验室

三角形内接四边形模型

正方形落进三角形里 —— 一条平行线截出相似，边长公式立刻到手

PQ / BC = (h − x) / h 底边之比 = 高之比（正方形时 x = BC·h/(BC+h)）

模型同源真题 2024·福建福州 ★★★☆☆

如图，△ABC 中，底边 BC = 12，BC 边上的高 h = 8。内接正方形 MNPQ 的一边 MN 在 BC 上，另两个顶点在两腰上。则正方形的边长 = ______。

实验台 · 内接正方形 MNPQ

M、N 落在 BC 上，Q 在 AB、P 在 AC —— 拖动 A 改变底与高，盯住底边之比 PQ/BC 与高之比 (h−x)/h

◈ 实时观测

BC（三角形底边）—

h（三角形的高）—

PQ（上底）—

PQ / BC（底边之比）—

(h − x) / h（高之比）—

S正方形 / S△ABC—

PQ/BC = (h−x)/h

PQ : BC = (h − x) : h

内接四边形的上底与大三角形底边之比 = 小三角形与大三角形的高之比 —— 这是解一切内接问题的钥匙；正方形时 PQ = MN = x，立刻得 x = BC·h/(BC+h)

口诀：底边比，等于高之比

实验台 · 内接矩形与面积最值

矩形高为 t 时宽 = BC·(h−t)/h —— 上下拖动 M 改变 t，找到让 S 最大的那条虚线（t = h/2）

◈ 实时观测

矩形高 t—

矩形宽 w = BC·(h−t)/h—

面积 S(t)—

最大值 BC·h/4—

t 与 h/2 的差—

t = h/2 时 S 最大

Smax = BC·h/4（t = h/2）

S(t) = BC·t·(h−t)/h：t(h−t) 在 t = h/2 时最大（配方或均值不等式）—— 与三角形形状无关

口诀：矩形最高半腰停，面积最大底高乘四停

中考真题（冲刺）

围绕「内接正方形 x = BC·h/(BC+h)」与内接矩形最值 · 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★★☆☆☆

2024·浙江温州

如图，在 △ABC 中，BC = 6，BC 边上的高 h = 4，内接正方形 MNPQ（P、Q 在 BC 上）的边长 x 是（　）

A．2

B．2.4

C．3

D．3.6

答案：B（2.4）

x = BC·h/(BC+h) = 6 × 4 ÷ (6 + 4) = 24/10 = 2.4。⚠️ 不是 h/2 = 2 —— 内接正方形一般不在半高处，那是「面积最大矩形」的位置。

第 2 关填空题反求高 ★★★☆☆

2024·浙江温州

如图，在 △ABC 中，BC = 8，内接正方形边长 x = 3，则 BC 边上的高 h = ______。

答案：h = 4.8

x = BC·h/(BC+h) ⇒ 3(8 + h) = 8h ⇒ 24 + 3h = 8h ⇒ h = 24/5 = 4.8。公式反用：解一个一元一次方程。

第 3 关填空题等腰直角 ★★★☆☆

2024·浙江温州

如图，等腰直角三角形两直角边长均为 6，内接正方形的两条邻边分别落在两直角边上，则正方形边长为 ______。

答案：x = 3

角隅内接正方形：x = ab/(a+b) = 36/12 = 3（把两直角边分别看作「底」和「高」，公式同样是底×高÷(底+高)）。⚠️ 另一种放法（一边在斜边上）答案是 2√2，注意审题看正方形落在哪。

第 4 关填空题面积比 ★★★★☆

2024·浙江温州

在 △ABC 中，BC = h = 6，则内接正方形面积与三角形面积之比为 ______。

答案：1/2（0.5）

x = 6 × 6 ÷ 12 = 3，S正 = 9，S△ = ½ × 6 × 6 = 18，比值 = 9/18 = 1/2。当 BC = h 时，内接正方形恰好占三角形面积的一半。

第 5 关解答题中考经典题 ★★★☆☆

2024·浙江温州

如图，MNPQ 是 △ABC 的内接正方形（P、Q 在 BC 上，M 在 AB 上，N 在 AC 上），BC 边上的高为 h。求证：正方形边长 x = BC·h/(BC+h)。

证明

∵ MNPQ 是正方形，∴ MN ∥ PQ，即 MN ∥ BC，∴ △AMN ∽ △ABC（AA）。过 A 作 AH ⊥ BC 于 H，交 MN 于 K，则 AK = h − x。由相似得 MN/BC = AK/AH，即 x/BC = (h − x)/h。整理：x·h = BC·(h − x)，x(BC + h) = BC·h，∴ x = BC·h/(BC+h)。

第 6 关探究题规律探究 ★★★★★

2024·浙江温州

设 BC = b，高 h = a，内接矩形的高 t = n。
（1）用含 a、b、n 的式子表示矩形的宽 w；（2）表示面积 S；（3）面积最大值 = ______。

(1)

(2)

(3)

答案：（1）b(a−n)/a（2）b·n(a−n)/a（3）ab/4

（1）相似：w/b = (a − n)/a ⇒ w = b(a − n)/a；（2）S = w·n = b·n(a − n)/a；（3）n(a − n) 在 n = a/2 时取最大值 a²/4（配方：n(a − n) = a²/4 − (n − a/2)²），∴ Smax = b/a · a²/4 = ab/4。最大值只与底和高有关，与形状无关。