初中数学 · 动态几何实验室

8字相似模型

对顶角两侧的相似 —— 拖动 D、E 改变形状与相似比，盯住三组边比

△ADE ∽ △ABC k = AD/AB = AE/AC = DE/BC A 在 D、B 之间，S比 = k²

模型同源真题 2024·安徽合肥 ★★☆☆☆

如图，DE ∥ BC，且 AD : AB = 1 : 3。若 S_△ABC = 27，则 S_△ADE = ______。

实验台 · 8字相似（DE ∥ BC）

D、E 在两条射线上，A 在 D、B 与 E、C 之间 —— 拖 A 换位，拖 D、E 改方向与相似比 k

◈ 实时观测

AD / AB—

AE / AC—

DE / BC—

相似比 k—

S△ADE / S△ABC—

k²—

S△ADE（S△ABC=27）—

AD/AB = AE/AC = DE/BC = k

△ADE ∽ △ABC，S比 = k²

对顶角 ∠DAE = ∠BAC，DE ∥ BC 出内错角 —— 小三角形是大三角形绕 A 旋转 180° 再缩小 k 倍的样子

口诀：8字交叉对顶角，平行截出相似来

实验台 · 反8字（∠AED = ∠ABC）

DE 不再平行，而是「反挂」：∠AED = ∠ABC —— 对应边交叉比 AD/AC = AE/AB，拖动 A、D、E 验证

◈ 实时观测

AD / AC—

AE / AB—

ED / BC—

相似比 k′—

S△AED / S△ABC—

k′²—

AD/AC = AE/AB = ED/BC

△AED ∽ △ABC

∠A 对顶 + ∠AED = ∠ABC（AA）—— 对应顶点 A↔A、E↔B、D↔C，比例式要交叉写

口诀：反8字，角对调，比例交叉要记牢

中考真题（冲刺）

围绕「8字相似 k = AD/AB = AE/AC = DE/BC」与反8字交叉比 · 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★★☆☆☆

2025·威海

如图，DE ∥ BC，AD = 4，AB = 12，AE = 3，则 AC 的长是（　）

A．6

B．8

C．9

D．12

答案：C（9）

8字相似：AE/AC = AD/AB = 4/12 = 1/3 ⇒ AC = AE ÷ (1/3) = 9。⚠️ 8字中 A 在 D、B 之间，但比例式与 A 字相同，别被图形方向干扰。

第 2 关填空题关键陷阱 ★★★☆☆

2025·威海

如图，DE ∥ BC，AD = 3，DB = 9，DE = 4，则 BC = ______。

答案：BC = 8

8字中 A 在 D、B 之间：AB = DB − AD = 9 − 3 = 6（不是 12！），k = AD/AB = 1/2，BC = DE ÷ k = 8。⚠️ 这题十人九错：把 AB 当成 AD + DB。

第 3 关填空题反8字 · 拓展 ★★★☆☆

2025·威海

如图，∠AED = ∠ABC（反8字），AE = 6，AB = 9，AC = 12，则 AD = ______。

答案：AD = 8

反8字交叉比：AD/AC = AE/AB ⇒ AD = AE·AC ÷ AB = 6 × 12 ÷ 9 = 8。⚠️ 对应顶点 A↔A、E↔B、D↔C，比例式 AD/AC = AE/AB 不要写成 AD/AB。

第 4 关填空题面积陷阱 ★★★★☆

2025·威海

如图，DE ∥ BC，AD : AB = 1 : 2，S△ADE = 9，则梯形 DECB 的面积是 ______。

答案：S梯 = 81

k = 1/2。8字梯形公式：S梯 = S△ADE·(1+k)²/k² = 9 × (3/2)² ÷ (1/2)² = 9 × 9 = 81。⚠️ 千万别用 S△ABC − S△ADE = 36 − 9 = 27 —— 那是 A 字模型（A 不在中间）的算法，8字中梯形包含 4 个三角形，不是大小相减！

第 5 关解答题中考经典题 ★★★☆☆

2025·威海

如图，∠AED = ∠ABC。求证：△AED ∽ △ABC。

证明

∵ ∠DAE = ∠BAC（对顶角相等），又 ∵ ∠AED = ∠ABC（已知），∴ △AED ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似得：AD/AC = AE/AB = ED/BC，且 S△AED : S△ABC = (AD/AC)²。
⚠️ 反8字的对应关系最易写反：是 △AED ∽ △ABC，不是 △ADE ∽ △ABC。

第 6 关探究题规律探究 ★★★★★

2025·威海

如图，DE ∥ BC，AD : AB = 1 : n，设 S△ADE = a。
（1）用含 n、a 的式子表示 S△ABC；（2）表示梯形 DECB 的面积；（3）当 n = 2，a = 9 时，梯形面积 = ______。

(1)

(2)

(3)

答案：（1）a·n²（2）a·(n+1)²（3）81

k = 1/n。（1）S△ABC = a ÷ k² = a·n²；（2）8字梯形：S梯 = a·(1+k)²/k² = a·(1+1/n)²·n² = a(n+1)²；（3）n = 2，a = 9 时 S梯 = 9 × 9 = 81。8字梯形永远比「大三角形 − 小三角形」大，因为 A 把两条对角线也包进了梯形。