中考真题（冲刺）
围绕「最大张角：相切 ⟹ OP² = OA·OB」· 做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关
概念理解
最优条件
★★★☆☆
2026·广东
A、B 是定点，P 在射线 m 上运动。∠APB 最大时，过 A、B、P 的圆与 m 的关系是（ ）
A．相交于两点
B．相切（P 为切点）
C．相离
D．经过 O
答案：B
同弧张角随圆减小而增大；圆要始终接触射线，收缩的极限就是相切——切点处张角最大。
第 2 关
填空题
圆幂定位
★★★☆☆
2026·广东
O、A、B 共线，OA = 2、OB = 8（AB 在同侧），P 在过 O 的另一射线上。∠APB 最大时 OP = ______。
答案：4
相切 ⟹ 圆幂：OP² = OA·OB = 16 ⟹ OP = 4。
第 3 关
填空题
几何平均
★★★☆☆
2026·广东
OA = 3、OB = 12，则最大张角位置 OP = ______。
答案：6
OP = √(3×12) = √36 = 6 —— 几何平均值。
第 4 关
判断说理
单调性
★★★☆☆
2026·广东
P 从 O 沿射线向远处运动时，∠APB 的变化规律是（ ）
A．一直变大
B．一直变小
C．先变大后变小（切点处最大）
D．不变
答案：C
从 O 出发张角趋近 0，到切点达到最大，之后逐渐减小趋向 0 —— 单峰。
第 5 关
填空题
反求距离
★★★★☆
2026·广东
最大张角位置满足 OP = 6，且 OA = 4，则 OB = ______。
答案：9
OP² = OA·OB ⟹ 36 = 4·OB ⟹ OB = 9。
第 6 关
综合探究
三步推理
★★★★★
2026·广东
OA = a、OB = b（a < b），P 在射线上，张角最大时圆与射线相切。
(1) 最优时 OP² = ______（用 a、b 表示，如 a*b）；
(2) a = 1、b = 9 时 OP = ______；
(3) OP = 6、a = 4 时 b = ______。
(1)
(2)
(3)
答案：(1) ab (2) 3 (3) 9
相切 ⟹ 圆幂定理：OP² = OA·OB = ab；(2) √(1×9) = 3；(3) 36 = 4b ⟹ b = 9。