初中数学 · 动态几何实验室

定高定角模型

切换定角 α、沿平行线拖动 C —— 见证「等腰时 AB 最短」的最值瞬间

AB ≥ 2h·tan(α/2) ∠ACB=α 定、高 CH=h 定｜等号 ⟺ CA=CB（CH 过外接圆圆心）

模型同源真题 2024·辽宁沈阳 ★★★★☆

如图，△ABC 中，∠ACB = 90°，CH ⊥ AB 于 H，且 CH = 5。则 AB 的最小值 = ______。

实验台 · 定高 h + 定角 α 的三角形

切换定角 α，拖动 C（沿上方平行线）—— 盯住 AB：什么时候最短？

◈ 实时观测

定角 α = ∠ACB60°

定高 CH = h4.5

AB（当前）—

AB 最小值 = 2h·tan(α/2)—

CA / CB—

CH 经过圆心 O（CA=CB）时 AB 最小

AB ≥ 2h·tan(α/2)

外接圆法：AB = 2R·sinα，而 C 的高度 h ≤ 弧顶高 R(1+cosα) —— 两式夹出 R 的最小值，等号在等腰（CH 过圆心）时取到

口诀：定高定角求边长，外接圆里藏 R；高不过弧顶，等腰取最小

实验台 · 面积与周长的最小值

拖动 C —— 面积 S 与周长 L 都在 CA = CB（等腰）时同时取最小

◈ 实时观测

AB（当前）—

S△ABC（当前）—

S 最小值 = ½·AB_min·h—

周长 L（当前）—

L 最小值—

等腰时三者同时取最小 ✓

S_min = h²·tan(α/2) ｜ L_min = 2h·(1+sin(α/2))/cos(α/2)

底边最小 ⟹ 面积最小；两腰之和在等腰时也最小 —— 定高定角模型里「等腰」是一切最值的答案

口诀：定高定角三件最，边长面积和周长，统统等腰时取到

中考真题（冲刺）

围绕「定高定角：等腰时 AB / 面积 / 周长同时最小」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★★☆☆☆

2023·重庆

如图，△ABC 中 ∠ACB = 90°，边 AB 上的高 CH = 4，则 AB 的最小值是（　）

A．4

B．6

C．8

D．10

答案：C（8）

AB_min = 2h·tan(α/2) = 2×4×tan45° = 8。等腰直角时取到（此时 CH 过外接圆圆心，AB 恰为直径 2h）。

第 2 关填空题直击中考 ★★☆☆☆

2023·重庆

△ABC 中 ∠ACB = 60°，边 AB 上的高 CH = 6，则 AB 最小值的平方 = ______。

_min)² = ?ABCH

答案：48

AB_min = 2×6×tan30° = 12×(√3/3) = 4√3，平方 = 48。

第 3 关解答题中考经典题 ★★★☆☆

2023·重庆

△ABC 中 ∠ACB = α（定值），边 AB 上的高 CH = h（定值）。
求证：AB ≥ 2h·tan(α/2)，等号当且仅当 CA = CB 时成立。

证明（外接圆法）

作 △ABC 的外接圆 ⊙O，半径 R。
① 正弦定理：AB = 2R·sinα；
② C 在以 AB 为弦的弧上，弧顶到 AB 的距离为 R + Rcosα（圆心到弦距离 Rcosα + 半径），而 C 的高度恰为 h，故 h ≤ R(1+cosα)，即 R ≥ h/(1+cosα)；
③ 代入：AB ≥ 2sinα·h/(1+cosα) = 2h·tan(α/2)（半角公式）。
等号 ⟺ C 在弧顶 ⟺ CH 过圆心 ⟺ CA = CB。证毕。

第 4 关填空题面积最值 ★★★☆☆

2023·重庆

△ABC 中 ∠ACB = 90°，边 AB 上的高 CH = 6，则 △ABC 面积的最小值 = ______。

_min = ?ABCH

答案：36

AB_min = 2×6×tan45° = 12，S_min = ½×12×6 = 36。高固定，面积与底边同涨同落 —— 底最小即面积最小。

第 5 关填空题周长最值 · 易错 ★★★★☆

2023·重庆

△ABC 中 ∠ACB = 60°，边 AB 上的高 CH = √3，则 △ABC 周长的最小值 = ______。

_min = ?ABCH

答案：6

等腰时取最小：CA = CB = h/cos30° = √3÷(√3/2) = 2，AB = 2h·tan30° = 2。周长 = 2+2+2 = 6 —— 此时恰为等边三角形。⚠️ 别只算底边忘了两腰！

第 6 关规律探究中考复习讲义 ★★★☆☆

2023·重庆

△ABC 中 ∠ACB = α，边 AB 上的高 CH = a。
(1) 当 α = 90° 时，AB 的最小值 = ______（用 a 表示）；
(2) AB 取最小值时，CA : CB = ______（填数值）；
(3) 当 α = 90° 时，面积最小值 = ______（用 a 表示）。

(1)

(2)

(3)

答案：(1) 2a　(2) 1　(3) a²

(1) α=90° 时 tan45°=1，AB_min = 2a；(2) 最小值在等腰时取到，CA : CB = 1；(3) S_min = ½·2a·a = a²。一句话：定高定角的所有最值，答案都写在「等腰」上。

◈ 模型识别

「顶角固定 + 该角对边上的高固定」求对边/面积/周长最值 —— 优先作外接圆，用弧顶高度夹出 R 的范围。

◈ 破题口诀

「定高定角求边长，外接圆里藏 R；高不过弧顶，等腰取最小」。AB_min = 2h·tan(α/2)，面积周长同理等腰。