初中数学 · 动态几何实验室

定边定角辅助圆模型

切换定角 α、拖动弧上的 P —— 见证「同弧圆周角恒等」的轨迹之美

∠APB = α（定值）⟺ P 在圆弧上 · R = AB/(2sinα) 圆心角 = 2α ｜ α=90° 时 AB 为直径

模型同源真题 2024·湖南长沙 ★★★★☆

如图，定线段 AB = 10，动点 P 满足 ∠APB = 30°，则点 P 所在圆弧的半径 R = ______。

实验台 · 定边 AB + 定角 α 的轨迹

切换定角 α，拖动 P（沿圆弧）—— 无论 P 怎么滑，∠APB 恒等于 α

◈ 实时观测

定边 AB10.0

定角 α60°

∠APB（实测）60.0°

辅助圆半径 R=AB/(2sinα)—

圆心角 ∠AOB = 2α—

P 的轨迹 = 以 AB 为弦的圆弧 ✓

∠APB = α（定值）⟺ P 在以 AB 为弦、R = AB/(2sinα) 的圆弧上

同弧所对的圆周角都相等 —— 圆心角 2α 所对的弧上，每个点看 AB 的张角都是 α

口诀：定边定角藏个圆，圆心角是两倍角；九十度时边为径

实验台 · 弧上动点的面积最值

拖动 P 沿圆弧滑动 —— △ABP 底边 AB 固定，面积最大当且仅当 P 在弧的最高点

◈ 实时观测

∠APB（恒定）60.0°

P 到 AB 的高 h—

最大高 h₀ = R(1+cosα)—

S△ABP（当前）—

S 最大值—

P 在弧顶 ⟹ 面积最大

S_max = ½·AB·R(1+cosα)

底固定 → 面积只看高；弧的最高点在中垂线上 —— 此时 PA = PB（等腰），高 = R + R·cosα

口诀：定边定角求面积，弧顶等腰时最大

中考真题（冲刺）

围绕「定边定角 ⟹ 辅助圆，R = AB/(2sinα)」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★★☆☆☆

2024·广东

如图，线段 AB = 6，动点 P 满足 ∠APB = 30°，则 P 所在圆弧的半径 R 是（　）

A．3

B．6

C．3√3

D．12

答案：B（6）

由正弦定理（或圆周角与圆心角）：AB = 2R·sinα ⟹ R = 6/(2·sin30°) = 6/1 = 6。

第 2 关填空题直击中考 ★★☆☆☆

2024·广东

如图，线段 AB = 10，动点 P 满足 ∠APB = 90°，则 P 的轨迹圆的半径 = ______。

答案：5

α = 90° 时轨迹是以 AB 为直径的圆（泰勒斯定理），R = AB/2 = 5。这就是「九十度时边为径」。

第 3 关解答题中考经典题 ★★★☆☆

2024·广东

如图，线段 AB 固定，点 P、Q 是 AB 同侧的两点，且 ∠APB = ∠AQB。
求证：A、B、P、Q 四点共圆。

证明（辅助圆）

作 △ABP 的外接圆 ⊙O。由圆周角定理，⊙O 在 AB 同侧的弧上任意一点对 AB 的张角都等于 ∠APB。
若 Q 不在 ⊙O 上：当 Q 在圆内，延长 AQ 交圆于 Q′，则 ∠AQB > ∠AQ′B = ∠APB（外角大于内对角），矛盾；当 Q 在圆外同理 ∠AQB < ∠APB，矛盾。
∴ Q 必在 ⊙O 上，即四点共圆。这就是「同侧等张角 ⟹ 共圆」—— 辅助圆模型的判定用法。

第 4 关填空题钝角情形 ★★★☆☆

2024·广东

如图，线段 AB = 6，动点 P 满足 ∠APB = 120°，则 P 所在圆弧的半径 R = ______。（结果保留根号，填 R² 的数值）

答案：R² = 12（R = 2√3）

R = AB/(2sin120°) = 6/(2×√3/2) = 6/√3 = 2√3，R² = 12。⚠️ 钝角也直接套 sinα —— sin120° = sin60° = √3/2，公式对锐角钝角通用。

第 5 关填空题面积最值 · 拓展 ★★★★☆

2024·广东

如图，线段 AB = 8，动点 P 满足 ∠APB = 60°，则 △ABP 面积的最大值 = ______。（填 S² 的数值）

答案：S² = 768（S = 16√3）

R = 8/(2·sin60°) = 8/√3。弧顶处高最大：h₀ = R(1+cos60°) = (8/√3)×1.5 = 12/√3 = 4√3。S = ½×8×4√3 = 16√3，S² = 768。此时 △ABP 是等边三角形（α=60° 的弧顶恰使 PA=PB=AB）。

第 6 关规律探究中考复习讲义 ★★★☆☆

2024·广东

线段 AB 固定，动点 P 满足 ∠APB = α（0° < α < 180°），记辅助圆半径为 R。
(1) 若 AB = a，用 a 和 α 表示：R·sinα = ______（填关于 a 的式子，用 a 表示）；
(2) 当 α = 90° 时，圆心 O 在线段 AB 的______上：填比值 —— O 到 A 的距离是 AB 的几分之几（填小数 0.5）；
(3) 在 0° < α ≤ 90° 范围内，α 越大，R 越______（大填 1，小填 0）。

(1)

(2)

(3)

答案：(1) a/2　(2) 0.5　(3) 0（越小）

(1) 由 AB = 2R·sinα 得 R·sinα = a/2（定值！）；(2) α=90° 时 AB 是直径，O 是 AB 中点，OA = AB/2；(3) R = a/(2sinα)，α∈(0°,90°] 时 sinα 递增 ⟹ R 递减，α=90° 时 R 最小 = a/2。

◈ 模型识别

「一条固定线段 + 一个固定张角」求动点轨迹或最值 —— 立刻画辅助圆：圆心在中垂线上，圆心角 = 2α。

◈ 破题口诀

「定边定角藏个圆，圆心角是两倍角；九十度时边为径」。求 R 用 R = AB/(2sinα)；求面积最值找弧顶。