初中数学 · 动态几何实验室
线段旋转面积模型
线段绕其上一点旋转 —— 先分清旋转中心在不在线段上
C 在线段上：S = α/360°·π(CA²+CB²)
｜ C 在延长线上：S = α/360°·π(R²−r²)
① 实验台（基础）
② 相消原理（拓展）
③ 中考真题（冲刺）
模型同源真题
2024·天津
★★★☆☆
如图，线段
AB
长为 6，点
C
在线段
AB
上，
CA
= 5，
CB
= 1。将线段
AB
绕点
C
旋转 90°，则线段扫过的面积 = ______
π
。
实验台 · 线段绕点旋转：C 在线段 AB 上 ⟹ 扫过面积 = 两块扇形之和
拖动 A、B 改半径（B 恒在 A 的反向延长线上，保证 C 在线段 AB 上），或点下方改旋转角 —— 扫过面积 = α/360°·π(CA²+CB²)
⇄ 拖 动 我
CA=5·CB=1·α=90°
旋转角 α
60°
90°
120°
180°
↺ 重置
▶ 演示旋转
🎬 推导动态解读
‹ 上一步
⏸ 暂停
下一步 ›
✕ 退出
◈ 实时观测
CA（= R）
—
CB（= r）
—
旋转角 α
—
扫过面积
—
C 在线段 AB 上：两块扇形相加（不是相减！）
S = α/360°·π(CA²+CB²)
C 在线段 AB 上：两块扇形相加；C 在线段的延长线上：大小扇形相减
口诀：中心在线段上 —— 两块扇形相加；中心在延长线上 —— 大小扇形相减
拓展 · 旋转中心不在线段 AB 上：大扇形 − 小扇形，两块三角形面积相消
这里 B 与 A 不同方向（旋转中心不在线段 AB 上）—— 扫过面积 = 大扇形 − 小扇形，两块三角形全等相消
▶ 自动演示
↺ 重置
◈ 实时观测
大扇形 CAA′
—
小扇形 CBB′
—
△CAB 与 △CA′B′（全等）
—
扫过面积 = 大 − 小
—
大扇形 − 小扇形，一目了然
◈ 相消原理
扫过区域 = 扇形 CAA′ − 扇形 CBB′ + △CA′B′ − △CAB
旋转 ⟹
△CAB ≌ △CA′B′
，面积相消
∴ S = α/360°·π(R²−r²) —— 与 AB 位置、形状无关！
S = S大扇 − S小扇
△CAB ≌ △CA′B′ —— 加一块减一块，正好抵消
口诀：旋转全等相消，只剩扇环
中考真题（冲刺）
围绕「线段旋转扫过面积 = 扇环 α/360°·π(R²−r²)」· 做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关
概念理解
公式识别
★★☆☆☆
2026·广西河池
线段
AB
绕点
C
旋转角 α，
CA
=
R
、
CB
=
r
（
R
>
r
），扫过的面积 =（ ）
C
A
B
A′
B′
R = 4
r = 2
旋转角 α = 90°
A．α/360°·π(R²−r²)
B．α/360°·π(R−r)²
C．α/360°·πR²
D．α/180°·π(R²−r²)
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：A
扫过区域 = 大扇形 − 小扇形（两块三角形全等相消）= α/360°·π
R
² − α/360°·π
r
²。
第 2 关
填空题
直接套公式
★★☆☆☆
2026·广西河池
线段
AB
绕
C
旋转 90°，
CA
= 3、
CB
= 1.5，扫过面积 = ______（填 ×π 的系数，即答案为 kπ 时填 k）。
C
A
B
A′
B′
R = 4
r = 2
旋转角 α = 90°
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：1.6875（= 27/16）
S
= 90/360·π·(9−2.25) = ¼·π·6.75 = 27π/16。
第 3 关
填空题
反求角度
★★★☆☆
2026·广西河池
线段绕
C
旋转后扫过面积为 4π，已知
CA
= 4、
CB
= 2，则旋转角 α = ______°。
C
A
B
A'
B'
60°
S=?
提交
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去实验台验证 →
答案：120
4π = α/360°·π·(16−4) = α/360°·12π ⟹ α = 4×360/12 = 120°。
第 4 关
填空题
形状无关
★★★☆☆
2026·广西河池
△
ABC
绕
C
旋转 120° 到 △
A
′
B
′
C
，
CA
= 5、
CB
= 3。边
AB
扫过的面积 = ______π（填系数）。
C
A
B
A'
B'
120°
?
提交
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去实验台验证 →
答案：5.33（= 16/3）
S
= 120/360·π·(25−9) = (1/3)·16π = 16π/3。与 △
ABC
的形状无关。
第 5 关
判断说理
相消原理
★★★☆☆
2026·广西河池
「边
AB
扫过的面积与三角形形状无关」成立的关键原因是（ ）
C
A
B
A′
B′
R = 4
r = 2
旋转角 α = 120°
A．旋转前后 △CAB 与 △CA′B′ 全等，面积相消
B．圆的面积是固定的
C．线段长度不变
D．纯属巧合
提交
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去实验台验证 →
答案：A
扫过面积 = 大扇形 + △CA′B′ − △CAB − 小扇形，旋转保全等 ⟹ 两三角形面积相消，只剩扇环。
第 6 关
综合探究
三步推理
★★★★★
2026·广西河池
线段绕
C
旋转 90°，外半径
R
= 4、内半径
r
= 2（以下均填 π 的系数）。
(1) 大扇形面积 = ______π；
(2) 小扇形面积 = ______π；
(3) 扫过的扇环面积 = ______π。
C
A
B
A′
B′
R = 4
r = 2
旋转角 α = 90°
扇环 = 大扇形 − 小扇形
(1)
提交
(2)
提交
(3)
提交
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答案：(1) 4 (2) 1 (3) 3
(1) 90/360·π·16 = 4π；(2) 90/360·π·4 = π；(3) 扇环 = 4π−π = 3π —— 即 α/360°·π(
R
²−
r
²) = ¼·π·12 = 3π ✓。
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