初中数学 · 动态几何实验室

圆幂定理模型

拖动 P 或转动割线 —— 四个值永远相等

PA·PB = PC·PD = PT² = OP² − r² —— 圆幂一家亲

模型同源真题 2024·重庆 ★★★☆☆

如图，⊙O 的半径 r = 3，点 P 在圆外且 OP = 5，过点 P 作 ⊙O 的切线 PT（T 为切点）。则 PT = ______。

实验台 · 圆外一点：割线积、切线平方全都等于 OP² − r²

拖动 P 或转动两条割线 —— PA·PB = PC·PD = PT² 永远成立

◈ 实时观测

PA · PB—

PC · PD—

PT²（切线）—

OP² − r²（圆幂）—

同弧等角出相似，交叉相乘得定积

PA·PB = PC·PD = PT² = OP²−r²

割线怎么转，PA·PB 永远等于 OP² − r²

口诀：割线乘积切线方，都等于幂

拓展 · P 进入圆内：相交弦定理 PA·PB = r² − OP²

拖动 P 穿过圆进入内部 —— 圆幂 = OP² − r² 自动变号，乘积恒正不变

◈ 实时观测

P 的位置—

PA · PB—

PC · PD—

|OP² − r²|—

P 进圆内，公式自动变号

◈ 内外统一

圆外：PA·PB = OP² − r² = PT² 圆内：PA·PB = r² − OP²（相交弦） ∴ 统一公式：PA·PB = |OP² − r²| ✓

圆幂 = OP² − r²（内负外正）

圆内圆外统一：乘积 = |OP² − r²|

口诀：内负外正一个幂

中考真题（冲刺）

围绕「圆幂定理：PA·PB = PC·PD = PT² = OP²−r²」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关概念理解定理识别 ★★☆☆☆

2025·湖南长沙

P 是 ⊙O 外一点，两条割线交圆于 A、B 与 C、D。下列一定成立的是（）

A．PA·PB = PC·PD

B．PA+PB = PC+PD

C．PA·PC = PB·PD

D．PA/PC = PD/PB 且不相等时无解

答案：A

圆幂定理：PA·PB = PC·PD = OP²−r²（圆幂只与 P 的位置有关）。

第 2 关填空题割线计算 ★★☆☆☆

2025·湖南长沙

P 在圆外，割线 PAB 中 PA = 4、AB = 5；另一条割线 PCD 中 PC = 4.5，则 CD = ______。

答案：3.5

PA·PB = 4×(4+5) = 36 = PC·PD ⟹ PD = 36/4.5 = 8 ⟹ CD = 8−4.5 = 3.5。

第 3 关填空题切割线定理 ★★★☆☆

2025·湖南长沙

P 在圆外，割线 PAB 中 PA = 2、PB = 8，PT 为切线，则 PT = ______。

答案：4

切割线定理：PT² = PA·PB = 2×8 = 16 ⟹ PT = 4。

第 4 关填空题圆幂求半径 ★★★☆☆

2025·湖南长沙

P 在圆外，OP = 5，切线 PT = 4，则圆的半径 r = ______。

答案：3

PT² = OP²−r² ⟹ 16 = 25−r² ⟹ r = 3。

第 5 关判断说理相交弦 ★★★☆☆

2025·湖南长沙

P 在圆内，两条弦 AB、CD 过 P。则（）

A．PA·PB = PC·PD = r²−OP²

B．PA·PB = OP²−r²

C．PA+PB = PC+PD

D．无固定关系

答案：A

圆内相交弦：乘积 = r²−OP²（圆幂变号）。与圆外公式统一为 |OP²−r²|。

第 6 关综合探究三步推理 ★★★★★

2025·湖南长沙

⊙O 半径 3，P 在圆外且 OP = 5。割线 PAB 中 PA = 2。
(1) 圆幂 OP²−r² = ______；
(2) PB = ______；
(3) 切线 PT = ______。

(1)

(2)

(3)

答案：(1) 16　(2) 8　(3) 4

(1) 25−9 = 16；(2) PA·PB = 16 ⟹ PB = 8；(3) PT² = 16 ⟹ PT = 4（= √(25−9) ✓）。