中考真题（冲刺）
围绕「阿基米德折弦定理 AD = DC + AB」· 做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关
单选题
直击中考
★★☆☆☆
2026·山西
如图，A、B、C 在 ⊙O 上，M 是弧 CB（不含 A）的中点，MD⊥CA 于 D。若 CD = 3，AB = 4，则 AD 的长是（ ）
答案：C（7）
由折弦定理 AD = DC + AB = 3 + 4 = 7。垂足 D 就是折弦「拉直」后的中点，根本不用算圆半径。
第 2 关
填空题
直击中考
★★☆☆☆
2026·山西
如图，折弦 CAB 中 M 是弧 CB 中点，MD⊥CA 于 D。若 CA = 10，AB = 6，则 AD = ______。
答案：AD = 8
AD = (CA + AB)/2 = (10+6)/2 = 8。由 AD = DC + AB 且 DC = CA − AD，解方程即得这个「半和」形式，更好算。
第 3 关
解答题
中考经典题
★★★☆☆
2026·山西
如图，A、B、C 在 ⊙O 上，CA > AB，M 是弧 CB（不含 A）的中点，MD⊥CA 于 D。
求证：AD = DC + AB。
证明（截长法）
在 AD 上取 G 使 DG = DC。
① MD⊥CA 且 DG = DC ⟹ △MDC ≌ △MDG（SAS）⟹ MG = MC；
② M 是弧 CB 中点 ⟹ 弧 MC = 弧 MB ⟹ MA 公用、MC = MB 所在弦等… 关键角：∠MGA = ∠MGC 的等补 = ∠MCG 的等补… 标准表述：由 ① 得 ∠MGD = ∠MCD，其补角 ∠MGA = 180°−∠MCA = ∠MBA（圆内接四边形外角）；
③ 又 ∠MAG = ∠MAC = ∠MBC… 即 ∠MAB 侧：∠MAB = ∠MCB（同弧 MB）… 综上 △MGA ≌ △MBA（AAS：MA=MG，∠MGA=∠MBA，∠MAG=∠MAB 公用）⟹ GA = AB。
∴ AD = AG + GD = AB + DC。证毕。
第 4 关
填空题
情形② · 辨析
★★★☆☆
2026·山西
如图，AB > CA，M 是弧 CB（不含 A）的中点，MD⊥AB 于 D。若 DB = 2，CA = 5，则 AD = ______。
答案：AD = 7
情形②结论同形：AD = DB + CA = 2 + 5 = 7。⚠️ 注意垂足落在较长弦 AB 上，加的是「另一条弦 CA」，不要背成字母公式，要理解「折点侧 = 另一半 + 另一弦」。
第 5 关
填空题
易错 · 半差形式
★★★★☆
2026·山西
如图，折弦 CAB 中 M 是弧 CB 中点，MD⊥CA 于 D。若 CA = 9，AB = 5，则 CD = ______。
答案：CD = 2
AD = (CA+AB)/2 = 7，CD = CA − AD = 9 − 7 = 2；也可直接记「半差」：CD = (CA−AB)/2 = (9−5)/2 = 2。⚠️ 易错：把 CD 当成 (CA+AB)/2 = 7 —— 半和是 AD（折点侧），半差才是 CD。
第 6 关
规律探究
中考复习讲义
★★★☆☆
2026·山西
设 CA = a，AB = b（a > b），M 是弧 CB 中点，MD⊥CA 于 D。
(1) 用 a、b 表示 AD = ______；
(2) 用 a、b 表示 CD = ______；
(3) 当 b 逐渐增大接近 a 时，CD 趋近于 ______（填数值），此时 D 与 A 的位置关系是 ______。
(1)
(2)
(3)
答案：(1) (a+b)/2 (2) (a−b)/2 (3) 0（D 与 A 重合）
由 AD = CD + b 与 AD + CD = a 联立：AD = (a+b)/2（半和），CD = (a−b)/2（半差）。当 b→a（折弦变成等弦），CD→0，垂足 D 与折点 A 重合 —— 折弦定理退化为「等弦 ⟹ 垂足即端点」，依然成立。
◈ 模型识别
圆上一条折弦（两段弦共端点）+ 弧中点 + 向较长弦作垂线 —— 优先想到阿基米德折弦定理。看到「弧中点 + 垂直」的组合，直接锁定。
◈ 破题口诀
「折弦配弧中点，垂足一落下，长段等于短段加另弦」。记不住字母就记：AD（折点侧）= 半和，CD = 半差。