初中数学 · 动态几何实验室

旁切圆模型

拖动切点 E 让第三条切线滚动 —— △PCD 周长恒等于 2·PA

C(△PCD) = PA + PB = 2·PA（定值）切线长转移：CA=CE、DB=DE

模型同源真题 2024·江苏苏州 ★★★★☆

如图，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，切点为 A、B。第三条切线分别交 PA、PB 于 C、D，且与圆相切于 E。若 PA = 9，则 △PCD 的周长 = ______。

实验台 · 两条切线 + 第三条滚动切线

拖动 P 或让切点 E 沿弧滑动 —— △PCD 的周长纹丝不动，恒等于 2·PA

◈ 实时观测

CA 与 CE—

DB 与 DE—

PA = PB（切线长）—

△PCD 周长—

2·PA—

周长 = 2·PA 恒定 ✓（圆是 △PCD 的旁切圆）

C(△PCD) = PA + PB = 2·PA（定值）

切线长定理三连：PA = PB、CA = CE、DB = DE ⟹ 周长里的 CE、ED 被「转」到 PA、PB 上 —— 与 E 的位置无关

口诀：两切一出切线长，三切滚动莫慌张；边边转移拼回去，周长就是双 PA

拓展 · 切线长定理本身：PA = PB，OP 垂直平分 AB

拖动 P —— 切点弦 AB 与 OP 的交点 M：OP⊥AB 且 AM = MB，∠APO = ∠BPO

◈ 实时观测

PA 与 PB—

∠APO 与 ∠BPO—

AM 与 MB—

∠AMP—

△PAO ≌ △PBO（HL）⟹ 切线长相等 ✓

PA = PB ｜ OP 平分角且垂直平分 AB

OA⊥PA、OB⊥PB（切线垂直半径）+ OA = OB + OP 公共 ⟹ Rt△PAO ≌ Rt△PBO（HL）—— 旁切圆模型的地基

口诀：切线垂直半径连，HL 全等立马见；等长平分又垂直，一条 OP 全包圆

中考真题（冲刺）

围绕「旁切圆：切线长转移 ⟹ △PCD 周长 = 2·PA」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题切线长定理 ★★☆☆☆

2024·中考专项训练

PA、PB 切 ⊙O 于 A、B，第三条切线切于 E、交 PA、PB 于 C、D。下列等式不一定成立的是（　）

A．CA = CE

B．DB = DE

C．PA = PB

D．PC = PD

答案：D（PC = PD 不一定）

从同一点引圆的两条切线长相等：C 点 ⟹ CA=CE；D 点 ⟹ DB=DE；P 点 ⟹ PA=PB。但 C、D 一般不对称，PC ≠ PD。

第 2 关填空题周长公式 ★★☆☆☆

2024·中考专项训练

旁切圆构型中，PA = 6，则 △PCD 的周长 = ______。

答案：12

周长 = PC+CD+DP = PC+CE+ED+DP = PC+CA+DB+DP = PA+PB = 12。

第 3 关填空题切线长 ★★☆☆☆

2024·中考专项训练

P 到圆心 O 的距离为 5，圆半径为 3，则切线长 PA = ______。

答案：4

OA⊥PA ⟹ PA = √(OP²−r²) = √(25−9) = 4。

第 4 关填空题逆用公式 ★★★☆☆

2024·中考专项训练

旁切圆构型中，△PCD 的周长为 10，则切线长 PA = ______。

答案：5

周长 = 2·PA ⟹ PA = 5。与 E 的位置无关 —— 这就是「定值」的威力。

第 5 关单选题旁切圆识别 ★★★☆☆

2024·中考专项训练

本模型中，⊙O 与 △PCD 的关系是（　）

A．内切圆

B．旁切圆（与 CD 及 PC、PD 的延长线相切）

C．外接圆

D．与三边都相交的圆

答案：B（旁切圆）

⊙O 与边 CD 相切，且与 PC、PD 的延长线（过 C、D 之外）相切 —— 正是 △PCD 顶点 P 所对的旁切圆，模型因此得名。

第 6 关证明题定理证明 ★★★☆☆

2024·中考专项训练

PA、PB 切 ⊙O 于 A、B，CD 切 ⊙O 于 E，交 PA、PB 于 C、D。
求证：△PCD 的周长 = 2PA。

证明

由切线长定理：CA = CE，DB = DE，PA = PB。周长 = PC+CD+DP = PC+CE+ED+DP = (PC+CA)+(PD+DB) = PA+PB = 2PA。证毕。