初中数学 · 动态几何实验室
弦切角模型
拖动 A、B、C 沿圆滑动 —— 弦切角永远等于所夹弧对的圆周角
∠EBA = ∠BCA
—— 弦切角 = 夹弧圆周角
① 实验台（基础）
② 切割线定理（拓展）
③ 中考真题（冲刺）
模型同源真题
2024·陕西西安
★★★☆☆
如图，
BE
是 ⊙
O
的切线，
B
为切点。若弦切角
∠EBA
= 42°，则它所夹弧
AB
所对的圆周角
∠BCA
= ______。
实验台 · 弦切角 = 所夹弧对的圆周角
拖动 A、B、C 沿圆滑动（切线随 B 转动）—— 盯住两组角：弦切角与圆周角永远相等
⇄ 拖 动 我
∠EBA=42°
↺ 重置
半径 OB
▶ 自动演示
🎬 推导动态解读
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下一步 ›
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◈ 实时观测
弦切角 ∠EBA
—
圆周角 ∠BCA（夹弧 BA）
—
弦切角 ∠DBC
—
圆周角 ∠BAC（夹弧 BC）
—
连半径出 90°，等腰倒角到圆心角的一半
∠EBA = ∠BCA ✓
A、B、C 怎么转，弦切角永远等于夹弧对的圆周角
口诀：切线垂半径，半角对圆周
拓展 · 弦切角出相似：切割线定理 PT² = PA·PB
拖动切点 T 或割线端 A —— △PTA ∽ △PBT（弦切角 ∠PTA = ∠B）⟹ PT² = PA·PB 恒成立
▶ 自动演示
↺ 重置
◈ 实时观测
PT（切线长）
—
PT²
—
PA · PB
—
弦切角 ∠PTA vs ∠B
—
弦切角 + 公共角 ⟹ 相似 ⟹ 切割线
◈ 相似链条
弦切角
∠PTA = ∠PBT
（夹弧 TA 的圆周角）
∠P 公共 ⟹
△PTA ∽ △PBT
⟹ PT/PB = PA/PT ⟹
PT² = PA·PB
∴ 切割线定理 = 弦切角的直接推论 ✓
PT² = PA·PB ✓
PT² = PA·PB —— 切线是割线的极限
口诀：弦切角搭公共角，切线平方割线积
中考真题（冲刺）
围绕「弦切角 = 所夹弧对的圆周角」· 做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关
概念理解
定理内容
★★☆☆☆
2024·广东深圳
DE
是 ⊙
O
在
B
处的切线，
BA
是弦。弦切角 ∠
EBA
等于（ ）
E
D
O
B
A
C
弦切角
∠BCA
A．圆心角 ∠BOA
B．夹弧 BA 所对的圆周角 ∠BCA
C．∠OBA
D．∠BAC
提交
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去实验台验证 →
答案：B
弦切角定理：弦切角 = 所夹弧对的圆周角。∠
EBA
夹弧
BA
，等于该弧对的圆周角 ∠
BCA
。
第 2 关
填空题
直接求角
★★☆☆☆
2024·广东深圳
DE
切 ⊙
O
于
B
，弦
BA
、
BC
在圆上，∠
BCA
= 55°，则弦切角 ∠
EBA
= ______°。
E
D
O
B
A
C
弦切角
∠BCA
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：55
弦切角 ∠
EBA
= 夹弧
BA
对的圆周角 ∠
BCA
= 55°。
第 3 关
填空题
配合切线垂直
★★★☆☆
2024·广东深圳
DE
切 ⊙
O
于
B
，若弦切角 ∠
EBA
= 40°，则圆心角 ∠
BOA
= ______°。
A
B
C
D
E
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：80
圆周角 ∠
BCA
= 40°（弦切角）⟹ 圆心角 = 2×40° = 80°（同弧圆心角 = 2 倍圆周角）。
第 4 关
填空题
切割线定理
★★★☆☆
2024·广东深圳
PT
切 ⊙
O
于
T
，割线
PAB
交圆于
A
、
B
，
PA
= 4，
AB
= 5，则
PT
= ______。
T
A
B
P
O
割线 PAB
切线 PT
提交
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去实验台验证 →
答案：6
PT
² =
PA
·
PB
= 4×(4+5) = 36 ⟹
PT
= 6。
第 5 关
判断说理
相似识别
★★★☆☆
2024·广东深圳
PT
切圆于
T
，
PAB
为割线。证明
PT
² =
PA
·
PB
所用的相似是（ ）
T
A
B
P
O
割线 PAB
切线 PT
A．△PTA ∽ △PBT（弦切角 ∠PTA = ∠B + 公共角 ∠P）
B．△PTA ∽ △PAB
C．△PAT ∽ △PTB 用勾股
D．无需相似
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：A
弦切角 ∠
PTA
= ∠
PBT
，∠
P
公共 ⟹ △
PTA
∽△
PBT
⟹
PT
/
PB
=
PA
/
PT
。
第 6 关
综合探究
三步推理
★★★★★
2024·广东深圳
PT
切 ⊙
O
于
T
，割线
PAB
，
PA
= 2，
PB
= 8。
(1)
PT
² = ______；
(2)
PT
= ______；
(3) 若圆半径为 3，则
PO
= ______（提示：OT⊥PT）。
T
A
B
P
O
(1)
提交
(2)
提交
(3)
提交
查看答案与解析
答案：(1) 16 (2) 4 (3) 5
(1)(2)
PT
² =
PA
·
PB
= 2×8 = 16 ⟹
PT
= 4；(3) Rt△
PTO
：
PO
=
√
(
PT
²+
OT
²)
=
√
(16+9)
= 5。
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