初中数学 · 动态几何实验室

弓箭模型

拖动 C、D 沿圆弧滑动 —— 见证「同弧所对圆周角处处相等」

∠CAB = ∠CDB ｜ ∠ACD = ∠ABD 同弧等角｜拓展：相交弦 PA·PB = PC·PD

模型同源真题 2024·湖北武汉 ★★☆☆☆

如图，A、B、C、D 四点在同一个圆上，若 ∠CAB = 35°，则 ∠CDB = ______。

实验台 · 同弧所对的圆周角

拖动 C、D（沿圆弧滑动）—— 盯住同色角：它们永远相等

◈ 实时观测

∠CAB（对弧 CB）—

∠CDB（对弧 CB）—

∠ACD（对弧 AD）—

∠ABD（对弧 AD）—

圆心角 ∠COB—

∠CAB = ∠CDB 且 ∠ACD = ∠ABD ✓

∠CAB = ∠CDB ｜ ∠ACD = ∠ABD

同一段弧，不管圆周上的点滑到哪，张角不变 —— 都等于圆心角的一半

口诀：弓箭一搭弦上跑，同弧之角处处等

实验台 · 相交弦定理

AB 与 CD 交于 P —— 拖动 C、D，盯住 PA·PB 与 PC·PD 的乘积

◈ 实时观测

PA—

PB—

PC—

PD—

PA·PB—

PC·PD—

PA·PB = PC·PD ✓

PA·PB = PC·PD

弓箭模型给等角：∠CAB = ∠CDB、∠ACD = ∠ABD ⟹ △APC ∽ △DPB —— 相似比交叉相乘即相交弦

口诀：两弦相交圆内点，两段乘积两边等

中考真题（冲刺）

围绕「弓箭模型：同弧圆周角相等」与相交弦拓展 · 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★★☆☆☆

2024·广东广州

如图，A、B、C、D 都在 ⊙O 上，∠CAB = 40°，则 ∠CDB = （　）

A．35°

B．40°

C．45°

D．50°

答案：B（40°）

∠CAB 与 ∠CDB 同对弧 CB —— 同弧圆周角相等，40° 直接得。

第 2 关填空题直击中考 ★★☆☆☆

2024·广东广州

如图，A、B、C、D 都在 ⊙O 上，∠ABD = 35°，则 ∠ACD = ______。

答案：35°

∠ACD 与 ∠ABD 同对弧 AD ⟹ 相等 = 35°。找角先找「它俩对着同一段弧」。

第 3 关解答题中考经典题 ★★☆☆☆

2024·广东广州

如图，A、B、C、D 都在 ⊙O 上。
求证：∠CAB = ∠CDB。

证明（圆心角搭桥）

连 OC、OB。圆周角定理：∠CAB = ½∠COB（顶点 A 在弧 CB 外）；同理 ∠CDB = ½∠COB。
∴ ∠CAB = ∠CDB。证毕 —— 圆心角是「标准尺」，两个圆周角都去量同一段弧。

第 4 关填空题相交弦 ★★★☆☆

2024·广东广州

如图，弦 AB 与弦 CD 交于圆内点 P，PA = 3，PB = 6，PC = 2，则 PD = ______。

答案：PD = 9

相交弦定理：PA·PB = PC·PD ⟹ 18 = 2·PD ⟹ PD = 9。

第 5 关填空题相交弦逆用 ★★★★☆

2024·广东广州

如图，弦 AB 与弦 CD 交于圆内点 P，PA·PB = 24，PC = 4，则 PD = ______。

答案：PD = 6

PC·PD = 24 ⟹ PD = 6。乘积是「点幂」，只与 P 的位置有关，与弦的方向无关。

第 6 关规律探究中考复习讲义 ★★★☆☆

2024·广东广州

弦 AB、CD 交于圆内点 P，记 PA = a，PB = b，PC = n。
(1) 若圆心角 ∠COB = 80°，则 ∠CAB = ______°（填数值）；
(2) PD = ______（用 a、b、n 表示）；
(3) 当 P 恰好是 AB 中点且 PC = PD 时，PA : PC = ______（填数值）。

(1)

(2)

(3)

答案：(1) 40　(2) ab/n　(3) 1

(1) 圆周角 = ½圆心角 = 40°；(2) 相交弦变形即得 PD = ab/n；(3) PA² = PC² ⟹ PA = PC，比值 1 —— 此时 P 是两条弦共同的中点，两弦必为「对称弦」。

◈ 模型识别

圆上四点连成「弓箭」（弦 + 交叉弦）—— 先找同弧：两个角对着同一段弧，它们就相等。给交点就联想相交弦乘积。

◈ 破题口诀

「弓箭一搭弦上跑，同弧之角处处等」；「两弦相交圆内点，两段乘积两边等」。