初中数学 · 动态几何实验室
平行弦模型
拖动 E、F 沿圆心垂线滑动 —— 弦长看弦心距，距离分同侧异侧
AB
=
2
√
(r²−OE²)
｜
EF
= |OE ± OF|
同侧取差、异侧取和（双解警示）
① 实验台（基础）
② 双解陷阱（拓展）
③ 中考真题（冲刺）
模型同源真题
2024·四川成都
★★★★☆
如图，⊙
O
的半径
r
= 5，两条平行弦
AB
、
CD
的弦心距分别为
OE
= 3、
OF
= 4，且两条弦在圆心
O
的同侧。则两条弦之间的距离
EF
= ______。
实验台 · 两条平行弦与弦心距
拖动 E、F（沿过 O 的垂线上下滑）—— 弦长 = 2
√
(r² − 弦心距²)
，E、O、F 恒共线
⇅ 拖 动 我
OE=3·OF=4
⌖ 弦心距
↺ 复位
▶ 自动演示
🎬 推导动态解读
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◈ 实时观测
半径 r
—
OE 与 AB
—
OF 与 CD
—
两弦距离 EF
—
当前位置关系
—
AB ∥ CD ⟹ E、O、F 共线；EF = |OE ± OF| ✓
AB = 2
√
(r²−OE²)
，EF = |OE ± OF|
垂径定理：弦心距垂直平分弦 ⟹ 半弦、弦心距、半径构成直角三角形；两弦同侧取差、异侧取和 —— 小心双解！
口诀：平行弦，心距连，半径勾股半边天；同侧减来异侧加，漏掉一解最可怜
拓展 · 经典陷阱：r=5、AB=8、CD=6，两弦距离 = ?
固定数据两种摆法 —— 一键切换「同侧 / 异侧」，答案 1 和 7 都对（看题目给没给位置）
异侧（EF = 7）
同侧（EF = 1）
◈ 实时观测
OE =
√
(5²−4²)
3
OF =
√
(5²−3²)
4
EF（当前摆法）
7
异侧：EF = OE+OF = 7 ｜ 同侧：EF = |OF−OE| = 1
EF = 7 或 1 —— 两个答案都可能对
题目只说「平行」没说「哪侧」时，同侧、异侧都要算 —— 中考最经典的漏解陷阱之一
口诀：平行两弦不定边，同侧异侧都算遍
中考真题（冲刺）
围绕「平行弦：弦心距勾股 + 同侧异侧双解」· 做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关
单选题
垂径定理
★★☆☆☆
2023·黑龙江绥化
AB
∥
CD
是 ⊙
O
的两条弦，
OE
⊥
AB
于
E
，
OF
⊥
CD
于
F
，则
E
、
O
、
F
三点的关系是（ ）
O
E
F
A
B
C
D
r
A．共线（都在两弦的公垂线上）
B．构成等边三角形
C．构成直角三角形
D．不确定
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：A（共线）
过圆心且垂直于弦的直线唯一；两弦平行 ⟹ 它们的垂线是同一条 ⟹
E
、
O
、
F
共线。
第 2 关
填空题
弦长计算
★★☆☆☆
2023·黑龙江绥化
⊙
O
半径为 5，弦
AB
= 8，则圆心
O
到
AB
的距离 = ______。
O
E
F
A
B
C
D
8
5
提交
查看答案与解析
答案：3
垂径定理：半弦 4、半径 5 ⟹ 弦心距 =
√
(25−16)
= 3。
第 3 关
填空题
双解 · 异侧
★★★☆☆
2023·黑龙江绥化
⊙
O
半径为 5，平行弦
AB
= 8、
CD
= 6 分居圆心
两侧
，则两弦间的距离 = ______。
O
E
F
A
B
C
D
8
6
提交
查看答案与解析
答案：7
OE
= 3、
OF
= 4，异侧取和：
EF
= 3+4 = 7。
第 4 关
填空题
双解 · 同侧
★★★☆☆
2023·黑龙江绥化
同上数据（
r
=5，
AB
=8，
CD
=6），但两弦在圆心
同侧
，则两弦间的距离 = ______。
O
E
F
A
B
C
D
8
6
提交
查看答案与解析
去拓展页验证 →
答案：1
同侧取差：
EF
= |4−3| = 1。题目不说哪侧，两个答案都要写！
第 5 关
填空题
反求弦长
★★★☆☆
2023·黑龙江绥化
⊙
O
半径为 5，圆心到弦
CD
的距离为 4，则
CD
= ______。
O
E
F
A
B
C
D
6
5
提交
查看答案与解析
答案：6
半弦 =
√
(25−16)
= 3 ⟹
CD
= 2×3 = 6。
第 6 关
证明题
定理证明
★★★☆☆
2023·黑龙江绥化
AB
、
CD
是 ⊙
O
的两条平行弦。
求证：
AB
、
CD
的弦心距所在直线经过圆心
O
，且两弦中点的连线经过
O
。
O
E
F
A
B
C
D
📝 我已完成证明，标记通关
查看答案与解析
证明
由垂径定理，弦的中垂线过圆心。
AB
∥
CD
⟹ 它们的中垂线互相平行；而两条都过同一点
O
⟹ 必为同一条直线。故两弦中点
E
、
F
与
O
共线。证毕。
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