初中数学 · 动态几何实验室

线圆最值模型

拖动 P 沿圆滑动 —— 到直线距离的最值永远在垂径两端

PH ∈ [|d−r|, d+r] —— 相交时最小值压到 0

模型同源真题 2024·浙江杭州 ★★★☆☆

如图，⊙O 的半径 r = 5，圆心 O 到直线 l 的距离 d = 8，点 P 是圆上的动点，PH ⊥ l 于 H。则 PH 的最小值 = ______。

实验台 · 圆上点到直线距离的最值：d + r 与 |d − r|

拖动 P 沿圆滑动（或拖直线/圆）—— 最大、最小都在「过 O 垂直 l」的方向上取到

d vs r

◈ 实时观测

PH（P 到 l 的距离）—

d = O 到 l 的距离—

r—

最大值 d + r—

最小值 |d − r|（相交为 0）—

最值只可能出现在垂径两端

PH ∈ [|d−r|, d+r]

P 跑满一圈，到直线距离永远在 [d−r, d+r] 之间

口诀：垂径两端定最值，加减半径一句话

拓展 · 折线距离 PA + PH 型最值：圆上动点组合

圆外定点 A + 直线 l：PA + PH 的最小值 = A 到 l 的距离 − r（垂线穿过圆时）

◈ 实时观测

PA + PH（当前）—

最小值 = A 到 l 的距离 − r—

差距—

折线 ≥ 垂线段，点圆再减 r

◈ 为什么

PA + PH ≥ A 到 l 的距离（折线 ≥ 垂线段） PA ≥ AO − r（点圆最值）当 A、P、O、H 共线（垂直 l）时同时取等 ∴ min(PA+PH) = A 到 l 的距离 − r ✓

min(PA+PH) = A 到 l 的距离 − r

A、P、H 共线时两个不等式同时取等

口诀：折线垂直最短，过圆再减半径

中考真题（冲刺）

围绕「线圆最值：PH ∈ [|d−r|, d+r]」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关概念理解最值位置 ★★☆☆☆

2025·四川宜宾

P 在 ⊙O 上运动，P 到直线 l 的距离取最大值时，P 位于（）

A．圆上任意点

B．过 O 垂直 l 的直线与圆远离 l 的交点

C．圆与 l 的交点

D．O 在 l 上的垂足

答案：B

距离 = d + r 在「远离直线的圆顶」取到；最小值在靠近直线的圆顶（过 O 垂直 l 的直线上）。

第 2 关填空题直接计算 ★★☆☆☆

2025·四川宜宾

⊙O 半径 r = 3，圆心到直线 l 的距离 d = 5。P 在圆上，则 P 到 l 距离的最大值 = ______。

答案：8

最大值 = d+r = 5+3 = 8（最小值 = 5−3 = 2）。

第 3 关填空题最小值 ★★☆☆☆

2025·四川宜宾

⊙O 半径 2.5，圆心到直线 l 距离为 4。P 在圆上，P 到 l 距离的最小值 = ______。

答案：1.5

相离：最小值 = d−r = 4−2.5 = 1.5。

第 4 关填空题相交情形 ★★★☆☆

2025·四川宜宾

⊙O 半径 2.5，圆心到直线 l 距离为 1（直线与圆相交）。P 在圆上，P 到 l 距离的最大值与最小值之和 = ______。

答案：3.5

相交时圆穿过直线：最小距离 = 0（交点处），最大 = 1+2.5 = 3.5 ⟹ 和 = 3.5。

第 5 关判断说理组合最值 ★★★★☆

2025·四川宜宾

A 是圆外定点，P 在圆上，PH⊥l 于 H。min(PA+PH) 等于（）（设 A 到 l 的垂线穿过圆）

A．A 到 l 的距离 − r

B．AO − r

C．A 到 l 的距离

D．AO + r

答案：A

PA+PH ≥ A 到 l 的距离−r：先点圆最值 PA ≥ AO−r，再折线 ≥ 垂线段，共线时同时取等。

第 6 关综合探究三步推理 ★★★★★

2025·四川宜宾

⊙O 半径 r = 2，直线 l 与圆相离，d = O 到 l 的距离 = 5。P 在圆上运动。
(1) P 到 l 距离的最大值 = ______；
(2) 最小值 = ______；
(3) 最大值与最小值的差 = ______（正好等于什么？）。

(1)

(2)

(3)

答案：(1) 7　(2) 3　(3) 4（= 直径 2r）

最大值 d+r = 7，最小值 d−r = 3，差 = 2r = 4 —— 正好是直径。