初中数学 · 动态几何实验室

风车模型

拖动 E、F（垂直十字绕中心旋转）—— 见证「全等换边，和与面积都是不变量」

△OAE ≌ △OBF ⟹ BE+BF = 边长｜ S = ¼S 正方形中心 + 垂直十字｜ OE = OF

模型同源真题 2024·广东深圳 ★★★★☆

如图，过正方形 ABCD 的中心 O 作两条互相垂直的直线，分别交 AB 于 E、交 BC 于 F。若正方形边长为 8，则 BE + BF = ______。

实验台 · 过正方形中心的垂直十字

拖动 E（沿 AB）或 F（沿 BC）—— OE⊥OF 永远保持，盯住 BE+BF

◈ 实时观测

OE—

OF—

AE（= BF）—

BE（= CF）—

BE + BF—

S(OEBF)—

BE + BF = 边长 ✓

△OAE ≌ △OBF ⟹ BE + BF = 边长，S(OEBF) = ¼S

中心 O 处：OA = OB、45° 角相等、垂直十字转出等角 —— ASA 全等，线段「换家」后和不变

口诀：正方形心垂直转，全等跟着旋转换；两边之和是边长，面积恒为四分一

实验台 · 旋转 90° 的「风车」视角

△OAE 绕 O 转 90° 正好盖上 △OBF —— 拖动 E 或开自动演示，看风车转动

◈ 实时观测

∠AOE—

∠BOF—

S(OEBF)—

¼·S(ABCD)—

旋转 90° 重合 ⟹ 面积 = ¼ 正方形 ✓

S(OEBF) = S△OBC = ¼·S(ABCD)

△OAE 旋转 90° 覆盖 △OBF ⟹ 阴影面积 = △OBC —— 与 E、F 位置无关的不变量

口诀：风车一转九十度，阴影面积四分一

中考真题（冲刺）

围绕「风车模型：中心垂直十字 ⟹ 全等 + 和定 + 面积定」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★★☆☆☆

2024·四川眉山

如图，正方形 ABCD 边长为 4，O 是中心，E 在 AB 上，F 在 BC 上，OE⊥OF。若 BE = 2.2，则 BF = （　）

A．1.8

B．2.2

C．2.4

D．2.6

答案：A（1.8）

BE + BF = 边长 = 4 ⟹ BF = 4 − 2.2 = 1.8。风车模型「和不变」直接秒。

第 2 关填空题直击中考 ★★☆☆☆

2024·四川眉山

正方形 ABCD 边长为 6，O 是中心，E、F 分别在 AB、BC 上，OE⊥OF，则四边形 OEBF 的面积 = ______。

答案：9

S(OEBF) = ¼S(ABCD) = 36/4 = 9 —— 与 E、F 位置无关的不变量。

第 3 关解答题中考经典题 ★★★☆☆

2024·四川眉山

如图，正方形 ABCD 的中心为 O，E 在 AB 上，F 在 BC 上，且 OE⊥OF。
求证：BE + BF = AB。

证明（ASA 全等）

① 正方形中心 ⟹ OA = OB，∠OAE = ∠OBF = 45°；
② OE⊥OF 且 OA⊥OB ⟹ ∠AOE = 90°−∠EOB = ∠BOF；
③ △OAE ≌ △OBF（ASA）⟹ AE = BF；
∴ BE + BF = BE + AE = AB。证毕。

第 4 关填空题线段转换 ★★★☆☆

2024·四川眉山

正方形 ABCD 边长为 8，O 为中心，OE⊥OF（E 在 AB、F 在 BC）。若 AE = 3，则 CF = ______。

答案：CF = 5

全等链：BF = AE = 3 ⟹ CF = 8 − 3 = 5。同理 CF = BE = 8 − 3 = 5，两条路一样快。

第 5 关填空题等长 · 拓展 ★★★★☆

2024·四川眉山

正方形 ABCD 边长为 5，O 为中心，OE⊥OF。若 OE = 2.5，则 EF² = ______。

答案：EF² = 12.5

全等 ⟹ OF = OE = 2.5；又 OE⊥OF ⟹ △OEF 等腰直角，EF² = 2×2.5² = 12.5。⚠️ 别忘平方：EF = 2.5√2。

第 6 关规律探究中考复习讲义 ★★★☆☆

2024·四川眉山

正方形 ABCD 边长为 a，O 为中心，OE⊥OF。
(1) BE + BF = ______（用 a 表示）；
(2) S(OEBF) = ______（用 a 表示）；
(3) EF² / OE² = ______（填数值）。

(1)

(2)

(3)

答案：(1) a　(2) a²/4　(3) 2

(1) 全等换边：BE+BF = BE+AE = a；(2) 剪拼成 △OBC = ¼ 正方形；(3) 等腰直角△OEF：EF² = 2·OE²。三个不变量一网打尽。

◈ 模型识别

正方形 + 中心 + 「互相垂直的两条线」—— 风车模型。转 90° 全等，和、面积都是不变量。

◈ 破题口诀

「正方形心垂直转，全等跟着旋转换；两边之和是边长，面积恒为四分一」。