初中数学 · 动态几何实验室

十字架模型

拖动 E、F —— 正方形里的十字：BE = CF ⟺ 垂直且等长

BE = CF ⟺ EC⊥DF 且 EC = DF △BCE ≌ △CDF ｜拓展：矩形等比

模型同源真题 2024·广东广州 ★★★★☆

如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 AB 上，点 F 在 BC 上，且 BE = CF。若 EC = 5，则 DF = ______。

实验台 · 正方形里的十字：垂直 ⟺ 等长

拖动 E（AB 上）与 F（BC 上）—— 当 BE = CF 时，EC⊥DF 且 EC = DF；锁定按钮一键对齐

◈ 实时观测

BE 与 CF—

∠EGD（G 处夹角）—

EC 与 DF—

BE = CF ⟺ EC⊥DF ⟺ EC = DF

BE = CF ⟺ EC ⊥ DF 且 EC = DF

正方形两边上的十字线：△BCE ≌ △CDF（SAS）⟹ 等长；∠BEC = ∠CFD ⟹ 导角出垂直 —— 垂直与等长互为因果

口诀：正方形里十字叉，两边取点看等差；BE 若等 CF 长，垂直等长一起拿

拓展 · 矩形十字架：垂直 ⟺ 相似 ⟺ 比值恒定

矩形（2:1）中拖动 E —— F 自动保持 EC⊥DF：盯住 EC/DF 恒等于宽/高 = 2

◈ 实时观测

∠EGD—

EC / DF—

宽 / 高（BC/CD）—

矩形：EC⊥DF ⟺ △BCE∽△CDF ⟺ EC/DF = BC/CD ✓

矩形十字：垂直 ⟺ EC/DF = 宽/高

正方形是全等的特例（比值 1）；矩形推广为相似 —— 垂直条件不变，等长变成等比

口诀：矩形十字仍垂直，等长升级成等比

中考真题（冲刺）

围绕「十字架：正方形中 BE = CF ⟺ EC⊥DF 且等长」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题模型识别 ★★☆☆☆

2023·辽宁丹东

正方形 ABCD 中，E 在 AB 上、F 在 BC 上，EC 与 DF 交于 G。若 BE = CF，则下列错误的是（　）

A．△BCE ≌ △CDF

B．EC = DF

C．EC ⊥ DF

D．G 是 EC 中点

答案：D

全等 ⟹ 等长 + 垂直都对，但 G 一般不是 EC 中点 —— 十字交点只保证垂直，不平分。

第 2 关填空题条件互推 ★★☆☆☆

2023·辽宁丹东

正方形 ABCD 中，E 在 AB 上、F 在 BC 上，EC⊥DF。若 BE = 3，则 CF = ______。

答案：3

垂直 ⟺ BE = CF（互推）⟹ CF = 3。

第 3 关填空题等长结论 ★★☆☆☆

2023·辽宁丹东

正方形构型中 EC⊥DF，EC = 5，则 DF = ______。

答案：5

垂直 ⟹ △BCE ≌ △CDF ⟹ DF = EC = 5。正方形十字：垂直与等长打包出现。

第 4 关填空题勾股计算 ★★★☆☆

2023·辽宁丹东

正方形边长为 4，BE = CF = 2，则 EC = ______。（填平方值）

答案：20

Rt△BCE：EC² = BC² + BE² = 16 + 4 = 20。

第 5 关填空题矩形推广 ★★★★☆

2023·辽宁丹东

矩形 ABCD 中 BC = 6、CD = 3，E 在 AB、F 在 BC 上，EC⊥DF。若 EC = 4，则 DF = ______。

答案：2

矩形十字：垂直 ⟺ △BCE∽△CDF，相似比 = BC/CD = 2 ⟹ EC/DF = 2 ⟹ DF = 4/2 = 2。

第 6 关证明题全等证明 ★★★☆☆

2023·辽宁丹东

正方形 ABCD 中，E 在 AB、F 在 BC 上，BE = CF。
求证：EC = DF 且 EC⊥DF。

证明

BC = CD，∠EBC = ∠FCD = 90°，BE = CF ⟹ △BCE ≌ △CDF（SAS）⟹ EC = DF 且 ∠BEC = ∠CFD。导角：∠BEC+∠BCE = 90° ⟹ ∠CFD+∠BCE = 90° ⟹ ∠CGF = 90°，即 EC⊥DF。证毕。