初中数学 · 动态几何实验室
梯子模型
拖动 A、B 让梯子沿墙角滑动 —— OE 与 DE 都是定值，OD ≤ OE + DE
OD ≤ OE + DE
—— E 为 AB 中点：OE = ½AB，DE =
√
(AD²+(AB/2)²)
，共线取等
① 实验台（基础）
② 中点轨迹（拓展）
③ 中考真题（冲刺）
模型同源真题
2024·北京
★★★★☆
如图，矩形梯子
ABCD
沿墙角
O
滑动，梯长
AB
= 6，梯宽
AD
= 4。则顶点
D
到墙角
O
的距离
OD
的最大值 = ______。
实验台 · 矩形梯子沿墙角滑动，盯住 OD 与它的最大值
拖动 A（沿墙）或 B（沿地）—— E 是 AB 中点：OE 与 DE 都是定值，OD ≤ OE + DE
⇄ 拖 动 我
AB=6·AD=4
梯子 AB
4
5
6
宽 AD
3
4
5
辅助线
↺ 重置
⊙ 最大值位置
▶ 自动演示
🎬 推导动态解读
‹ 上一步
⏸ 暂停
下一步 ›
✕ 退出
◈ 实时观测
OD（目标距离）
—
OE = ½AB（斜边中线）
—
DE =
√
(AD²+(AB/2)²)
—
OE + DE（最大值）
—
距最大值还差
—
E 是斜边中点：OE、DE 都是定值，OD 被两条定线段夹住
OD ≤ OE + DE
梯子怎么滑，OE = ½AB 不变、DE 也不变；O、E、D 拉成一条线时 OD 顶到最大
口诀：斜边中线加勾股，共线一拉到顶格
拓展 · 中点 E 的轨迹：以 O 为圆心的圆弧
OE = ½AB 恒定 ⟹ E 永远在圆弧上；OD 与 OC 的最大值公式相同
✦ 描出轨迹
⊙ 最大值位置
↺ 重置
◈ 实时观测
OE（应恒 = ½AB）
—
½AB
—
OD 最大值 = OE+DE
—
取等条件 sin2θ = 2·AD/AB
—
OE = ½AB 恒定 ⟹ E 的轨迹是圆弧，不是直线！
◈ 为什么是圆
∠AOB = 90°（墙角），AB 为 Rt△ 斜边
E 是 AB 中点 ⟹
OE = ½AB
（斜边中线）
AB 定长 ⟹ OE 定长 ⟹
E 在以 O 为圆心、½AB 为半径的圆弧上
∴ 梯子滑动的中点轨迹是圆弧，不是直线！
E 的轨迹：圆 O 半径 ½AB
中点 E 到墙角 O 的距离恒为梯子的一半 —— 圆的定义：到定点距离定长
口诀：斜边中线定半径，中点轨迹一段弧
中考真题（冲刺）
围绕「梯子模型：OE = ½AB 定值，OD ≤ OE + DE」· 做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关
概念理解
核心判定
★★☆☆☆
2026·绍兴
梯子
AB
沿直角墙角滑动，
E
为
AB
中点。滑动过程中，
OE
的长度（ ）
O
A
B
E
OE = ½AB
A．不断变大
B．不断变小
C．始终等于 ½AB（不变）
D．先变大后变小
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：C
∠
AOB
= 90°，
AB
是 Rt△
AOB
的斜边，
E
是斜边中点 ⟹
OE
= ½
AB
（斜边中线定理），梯子长度不变，所以
OE
恒定。
第 2 关
填空题
最值计算
★★★☆☆
2026·绍兴
矩形
ABCD
中
AB
= 8，
AD
= 3，
A
、
B
分别在互相垂直的墙与地面滑动。则
OD
的最大值 = ______。
O
A
B
E
OE = ½AB
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：9
OE
= ½×8 = 4；
DE
=
√
(
AD
²+
AE
²)
=
√
(3²+4²)
= 5；
OD
≤
OE
+
DE
= 4+5 =
9
（
O
、
E
、
D
共线时取到）。
第 3 关
填空题
轨迹问题
★★☆☆☆
2026·绍兴
长为 10 的梯子
AB
沿墙角滑动，
E
为
AB
中点，则
E
到墙角
O
的距离 = ______。
O
A
B
C
D
E
AD = 3
AB = 8
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去实验台验证 →
答案：5
OE
= ½
AB
= 5（定值）—— 所以中点
E
的轨迹是以
O
为圆心、5 为半径的圆弧。
第 4 关
填空题
含根号计算
★★★★☆
2026·绍兴
矩形
ABCD
中
AB
= 6，
AD
=
√
7
，
A
、
B
沿直角墙角滑动，则
OD
的最大值 = ______。
O
A
B
E
AB = 10
OE = 5
提交
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去实验台验证 →
答案：7
OE
= 3；
DE
=
√
(7+9)
= 4；
OD
≤ 3+4 =
7
。验证取等条件：sin2θ = 2
√
7
/6 ≈ 0.88 < 1，可以达到 ✓。
第 5 关
判断说理
取等条件
★★★☆☆
2026·绍兴
OD
取最大值时，点
O
、
E
、
D
的位置关系是（ ）
O
A
B
C
D
E
AD =
√
7
AB = 6
A．O、E、D 三点共线（E 在 O、D 之间）
B．OE ⊥ ED
C．D 在墙上
D．E 与 B 重合
提交
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去实验台验证 →
答案：A
三角形三边关系
OD
≤
OE
+
DE
取等号 ⟺
O
、
E
、
D
共线且
E
在中间。此时梯子倾角满足 sin2θ = 2·
AD
/
AB
。
第 6 关
综合探究
三步推理
★★★★★
2026·绍兴
矩形
ABCD
中
AB
=
a
，
AD
=
b
（2
b
≤
a
），沿直角墙角滑动。
(1)
OE
= ______（用
a
表示）；
(2)
DE
² = ______（用
a
、
b
表示）；
(3) 当
a
= 6、
b
=
√
7
时，
OD
的最大值 = ______（填数值）。
O
A
B
E
D
C
AB = a
AD = b
(1)
提交
(2)
提交
(3)
提交
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答案：(1) a/2 (2) b²+a²/4 (3) 7
(1) 斜边中线
OE
=
a
/2；(2)
DE
² =
b
²+
a
²/4；(3)
a
=6、
b
²=7 时
OE
=3、
DE
=
√
(7+9)
=4 ⟹
OD
≤ 3+4 = 7（2
b
<
a
能取到 ✓）。
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