AB = CD ⟹ EM = FM（等腰）E、F 为对边中点，M 为对角线中点 ｜ EF 与 AB、CD 成等角
模型同源真题2024·西藏拉萨★★★☆☆
如图，四边形 ABCD 中，AB = CD = 8，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点，M 是对角线 AC 的中点。则 EM = ______。
实验台 · AB = CD 的四边形 + 双中点
拖动 A、B、C，拖动 D（保持 CD = AB 绕 C 转）—— 盯住 EM、FM 与等腰△MEF
◈ 实时观测
AB—
CD（= AB）—
EM = ½·AB—
FM = ½·CD—
∠MEF—
∠MFE—
EM = FM ⟹ ∠MEF = ∠MFE ✓
EM = FM ⟹ △MEF 等腰，EF 与 AB、CD 成等角
连对角线 BD 取中点 M：EM、FM 分别是 △ABD、△BCD 的中位线 —— AB = CD 直接变 EM = FM
口诀：对边相等配双中点，对角线中点一相连，中位线里出等腰
实验台 · AB ≠ CD 的一般情形
D 的距离也可拖（CD 不再等于 AB）—— 盯住比值：EM : FM 恒等于 AB : CD
◈ 实时观测
AB—
CD—
AB : CD—
EM : FM—
sin∠MEF : sin∠MFE—
EM : FM = AB : CD 恒成立 ✓
EM : FM = AB : CD（任意四边形）
中位线关系与 AB = CD 无关 —— 相等只是特例；再由正弦定理，sin∠MEF : sin∠MFE = FM : EM = CD : AB
口诀：双中点连中位，比值跟着对边跑
中考真题（冲刺）
围绕「对边相等 + 双中点 ⟹ 中位线出等腰」· 做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关单选题直击中考★★☆☆☆
2025·天津
如图，四边形 ABCD 中 AB = CD = 6，E、F 分别是 AD、BC 的中点，M 是对角线 BD 的中点，则 EM + FM = （ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
答案：B（6）
EM 是 △ABD 的中位线 ⟹ EM = ½AB = 3；同理 FM = ½CD = 3。合计 6。
第 2 关填空题直击中考★★☆☆☆
2025·天津
四边形 ABCD 中 AB = CD = 8，E、F 分别是 AD、BC 的中点，M 是 BD 中点。若 ∠MEF = 35°，则 ∠MFE = ______°。
答案：35°
AB = CD ⟹ EM = FM ⟹ △MEF 等腰 ⟹ ∠MFE = ∠MEF = 35°。
第 3 关解答题中考经典题★★★☆☆
2025·天津
如图，四边形 ABCD 中 AB = CD，E、F 分别是 AD、BC 的中点。 求证：EF 与 AB、CD 所成的角相等（即延长 FE 交 AB、CD 的延长线所得两交角相等）。
证明（对角线中点 + 中位线）
连接 BD，取中点 M，连 EM、FM。 ① △ABD 中，EM 是中位线 ⟹ EM ∥ AB 且 EM = ½AB； ② △BCD 中，FM 是中位线 ⟹ FM ∥ CD 且 FM = ½CD； ③ AB = CD ⟹ EM = FM ⟹ ∠MEF = ∠MFE； ④ 由平行：∠MEF 即 EF 与 AB 的夹角，∠MFE 即 EF 与 CD 的夹角 —— 两角相等。证毕。