初中数学 · 动态几何实验室

中位线模型

拖动 A、B、C —— 角平分线上的垂足永远落在中位线上

PQ = ½(AB+AC−BC) —— 平分加垂直，延长出等腰

模型同源真题 2024·青海西宁 ★★★★☆

如图，△ABC 中，BP 平分 ∠ABC 且 BP ⊥ AP 于 P，CQ 平分 ∠ACB 且 CQ ⊥ AQ 于 Q。若 AB = 10，AC = 8，BC = 12，则 PQ = ______。

实验台 · 角平分线上的垂足落在中位线上：PQ = ½(AB+AC−BC)

拖动 A、B、C —— BP、CQ 是角平分线，AP⊥BP、AQ⊥CQ：P、Q 永远在中位线 DE 上

◈ 实时观测

DP 与 ½AB—

EQ 与 ½AC—

PQ—

½(AB+AC−BC)—

角平分线遇垂直，延长就出等腰

PQ = ½(AB+AC−BC)

P 是 AM 中点、D 是 AB 中点 —— 中位线把 P 钉在 DE 上

口诀：平分加垂直，延长出等腰

拓展 · 中位线定理本身：DE ∥ BC 且 DE = ½BC

拖动任意顶点 —— 中位线与底边永远平行，长度恒为一半；面积比恒 1:4

◈ 实时观测

DE—

½BC—

斜率差（平行检验）—

S△ADE / S△ABC—

DE ∥= ½BC：相似缩小 1:2

◈ 中位线定理

D、E 是 AB、AC 中点 ⟹ △ADE ∽ △ABC（1:2） ⟹ DE ∥ BC 且 DE = ½BC 面积比 = (1/2)² = 1/4 ∴ 中位线是「相似缩小」的骨架 ✓

DE ∥ BC，DE = ½BC

顶点随便拖，中位线永远平行底边且一半长

口诀：中点连中点，平行又减半

中考真题（冲刺）

围绕「角平分线垂足在中位线上，PQ = ½(AB+AC−BC)」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关概念理解中位线定理 ★★☆☆☆

2025·四川广元

△ABC 中 D、E 分别是 AB、AC 的中点，BC = 10，则 DE =（）

A．5

B．10

C．2.5

D．不确定

答案：A

中位线定理：DE ∥ BC 且 DE = ½BC = 5。

第 2 关填空题模型结论 ★★★☆☆

2025·四川广元

△ABC 中 AB = 5、AC = 6、BC = 8，BP、CQ 是角平分线，AP⊥BP、AQ⊥CQ。则 PQ = ______。

答案：1.5

PQ = ½(AB+AC−BC) = ½(5+6−8) = 1.5。

第 3 关判断说理 P 的位置 ★★★☆☆

2025·四川广元

「BP 平分 ∠B 且 AP⊥BP」时，垂足 P 一定在（）上

A．中位线 DE

B．边 BC

C．高线

D．外接圆

答案：A

延长 AP 交 BC 于 M：角平分线 + 垂直 ⟹ △ABM 等腰，P 是 AM 中点；D 是 AB 中点 ⟹ DP 是 △ABM 的中位线 ⟹ P 在中位线 DE 上。

第 4 关填空题反求周长 ★★★☆☆

2025·四川广元

△ABC 的中位线 DE = 4.5，则 BC = ______。

答案：9

BC = 2DE = 9。

第 5 关填空题面积比 ★★★☆☆

2025·四川广元

D、E 是 AB、AC 中点，△ABC 面积为 24，则 △ADE 的面积 = ______。

答案：6

相似比 1:2 ⟹ 面积比 1:4 ⟹ 24÷4 = 6。

第 6 关综合探究三步推理 ★★★★★

2025·四川广元

△ABC 中 AB = n、AC = b、BC = a，角平分线垂足模型中：
(1) DP = ______（用 n 表示）；
(2) EQ = ______（用 b 表示）；
(3) 由 DE = ½a 及重叠关系得 PQ = ______。

(1)

(2)

(3)

答案：(1) n/2　(2) b/2　(3) (n+b−a)/2

DP 是 △ABM 中位线 = ½BM = ½n；EQ = ½b；PQ = DP+EQ−DE = ½(n+b−a)。