中考真题（冲刺）
围绕「垂美四边形：对边平方和相等 + 面积 = ½·对角线积」· 做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关
单选题
直击中考
★★☆☆☆
2024·四川雅安
如图，四边形 ABCD 的对角线 AC⊥BD 于点 O，AB = 3，BC = 4，CD = 5，则 AD 的长是（ ）
答案：B（3√2）
AD² = AB² + CD² − BC² = 9 + 25 − 16 = 18，AD = √18 = 3√2。对边平方和相等，缺谁求谁。
第 2 关
填空题
直击中考
★★☆☆☆
2024·四川雅安
如图，四边形 ABCD 的对角线 AC⊥BD，AC = 6，BD = 8，则四边形 ABCD 的面积 = ______。
答案：24
对角线互相垂直的四边形，面积 = ½·AC·BD = ½ × 6 × 8 = 24。把四边形分成 △ABD 与 △CBD，同底 BD，高之和恰为 AC。
第 3 关
解答题
中考经典题
★★★☆☆
2024·四川雅安
如图，四边形 ABCD 的对角线 AC⊥BD 于点 O。
求证：AB² + CD² = BC² + DA²。
证明（勾股四轮）
设 OA = a，OB = b，OC = c，OD = d。
AC⊥BD ⟹ 四个小三角形都是直角三角形：
AB² = a² + b²，BC² = b² + c²，CD² = c² + d²，DA² = d² + a²。
∴ AB² + CD² = a² + b² + c² + d² = BC² + DA²。证毕。
第 4 关
填空题
整体思想
★★★☆☆
2024·四川雅安
如图，四边形 ABCD 的对角线 AC⊥BD，AB = 5，BC = 4，CD = 5，则 AD² = ______。
答案：AD² = 34
AD² = AB² + CD² − BC² = 25 + 25 − 16 = 34。⚠️ 题目只要 AD² —— 别急着开方，整体代入一步出答案。
第 5 关
填空题
中点四边形 · 拓展
★★★★☆
2024·四川雅安
如图，四边形 ABCD 的对角线 AC⊥BD，AC = 10，BD = 6，E、F、G、H 依次为四边中点，则四边形 EFGH 的面积 = ______。
答案：15
中点四边形面积恒为原四边形的一半；垂美四边形 S = ½·AC·BD = 30，所以 S(EFGH) = 15。也可以直接算：矩形两边 = ½·10 与 ½·6，5 × 3 = 15。
第 6 关
规律探究
中考复习讲义
★★★☆☆
2024·四川雅安
四边形 ABCD 对角线交于 O，设 OA = a，OB = b。
(1) 若 AC⊥BD 且 OC = OA，OD = OB，则 AB² = ______（用 a、b 表示）；
(2) 若四边相等（菱形），对角线是否一定垂直？填数值：菱形一个内角为 60° 时，较短对角线与边长之比为 1 : ______；
(3) 逆命题：「若 AB² + CD² = BC² + DA²，则 AC⊥BD」成立吗？成立填 1，不成立填 0。
(1)
(2)
(3)
答案：(1) a²+b² (2) 1 (3) 1（成立）
(1) 勾股直接得 AB² = a² + b²；(2) 菱形对角线必互相垂直平分；内角 60° 时短对角线等于边长，比值 1:1；(3) 逆命题成立：由 AB² + CD² = BC² + DA² 展开坐标可推出对角线斜率之积为 −1 —— 平方和相等 ⟺ 对角线垂直，这是充要条件。
◈ 模型识别
题目出现「对角线互相垂直」的四边形（含菱形、正方形、筝形）—— 立刻想到对边平方和相等 + 面积 = ½·对角线积。
◈ 破题口诀
「对角垂直四边形，对边平方和相等，面积对角一半乘」。给三边求第四边：交叉两组，移项开方。