初中数学 · 动态几何实验室

翻折模型

拖动 C 改变矩形尺寸 —— 见证「翻折保边等，双勾股出方程」

AF = AD，EF = ED ｜ CE = (AB²−FC²)/(2·AB) 矩形翻折 D→F ｜隐藏武器：△ABF ∽ △FCE

模型同源真题 2024·内蒙古呼和浩 ★★★☆☆

如图，矩形 ABCD 中，AB = 8，AD = 10。沿 AE 翻折，点 D 恰好落在 BC 上的点 F 处。则 CE = ______。

实验台 · 矩形翻折：D 落到 BC 上的 F

拖动 C 改变矩形尺寸 —— 折痕 AE 自动调整，盯住各段长度关系

◈ 实时观测

AB（矩形高）4.0

AD（矩形宽）5.0

BF = √(AD²−AB²)3.0

FC2.0

CE1.5

ED = EF2.5

(AB−CE)²... EF² = EC² + FC² ✓

AF = AD，EF = ED ｜ CE = (AB² − FC²)/(2·AB)

翻折即对称：折痕 AE 是 DF 的垂直平分线 —— Rt△ABF 出 BF，Rt△ECF 列勾股方程解 CE

口诀：翻折就是照镜子，对应边等对应角等；左勾股右勾股，方程一列 CE 出

实验台 · 翻折出的相似：△ABF ∽ △FCE

∠AFE = ∠D = 90° ⟹ 一线三角（∠B = ∠AFE = ∠C = 90°）⟹ 两侧三角形相似

◈ 实时观测

∠AFE（= ∠D）90.0°

∠BAF—

∠EFC—

AB / FC—

BF / CE—

△ABF ∽ △FCE（一线三等角）✓

△ABF ∽ △FCE ⟹ AB : FC = BF : CE = AF : FE

∠AFB + ∠EFC = 90° = ∠AFB + ∠BAF ⟹ ∠BAF = ∠EFC —— 两个直角三角形 AA 相似；翻折问题里的隐藏武器

口诀：折角九十立线上，两端直角三等角；左右相似比例通

中考真题（冲刺）

围绕「矩形翻折：对应边相等 + 双勾股列方程」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题直击中考 ★★☆☆☆

2024·四川雅安

如图，矩形 ABCD 中 AB = 4，AD = 5，点 E 在 CD 上，翻折 △ADE 使 D 落在 BC 边上的 F 处，则 CE 的长是（　）

A．1

B．1.5

C．2

D．2.5

答案：B（1.5）

翻折 ⟹ AF = AD = 5，EF = ED。Rt△ABF：BF = √(25−16) = 3 ⟹ FC = 2。设 CE = x，则 EF = ED = 4−x；Rt△ECF：(4−x)² = x² + 4 ⟹ 16−8x = 4 ⟹ x = 1.5。

第 2 关填空题直击中考 ★★☆☆☆

2024·四川雅安

矩形 ABCD 中 AB = 3，AD = 5，翻折 △ADE 使 D 落在 BC 上的 F 处，则 BF = ______。

答案：BF = 4

AF = AD = 5，Rt△ABF 中 BF = √(AF²−AB²) = √(25−9) = 4。第一步勾股，直接送分。

第 3 关解答题中考经典题 ★★★☆☆

2024·四川雅安

如图，矩形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，沿 AE 翻折使点 D 落在 BC 边上的 F 处。
求证：CE² + FC² = ED²。

证明

翻折 ⟹ △ADE ≌ △AFE ⟹ EF = ED，∠AFE = ∠D = 90°。
矩形 ⟹ ∠C = 90°，故 △ECF 是直角三角形；由勾股定理 CE² + FC² = EF² = ED²。证毕。
关键就两句：翻折保边等，矩形送直角。

第 4 关填空题大数计算 ★★★☆☆

2024·四川雅安

矩形 ABCD 中 AB = 5，AD = 13，翻折 △ADE 使 D 落在 BC 上的 F 处，则 CE = ______。

答案：CE = 2.4

BF = √(13²−5²) = 12 ⟹ FC = 1。设 CE = x：(5−x)² = x² + 1 ⟹ 25−10x = 1 ⟹ x = 2.4。5-12-13 勾股数先送 BF。

第 5 关填空题相似 · 拓展 ★★★★☆

2024·四川雅安

矩形 ABCD 中 AB = 4，AD = 5，翻折后 D 落在 BC 上的 F（BF = 3，FC = 2）。由 △ABF ∽ △FCE，则 CE = ______。

答案：CE = 1.5

相似比：AB : FC = BF : CE ⟹ 4 : 2 = 3 : CE ⟹ CE = 1.5。不用方程，相似直接比出来 —— 与第 1 关殊途同归。

第 6 关规律探究中考复习讲义 ★★★☆☆

2024·四川雅安

矩形 ABCD 中 AB = a，AD = b（b > a），翻折 △ADE 使 D 落在 BC 上的 F。
(1) BF² = ______（用 a、b 表示，如 b*b−a*a）；
(2) 设 CE = x，则 EF = ED = ______（用 a、x 表示）；
(3) 当 a = 4、b = 5 时，CE / AB = ______（填小数）。

(1)

(2)

(3)

答案：(1) b²−a²　(2) a−x　(3) 0.375

(1) Rt△ABF：BF² = AF²−AB² = b²−a²；(2) EF = ED = CD−CE = a−x；(3) a=4、b=5 时 BF=3、FC=2，CE = (a²−FC²)/(2a) = (16−4)/8 = 1.5，比值 = 1.5/4 = 0.375。

◈ 模型识别

矩形（或直角图形）+「翻折使某点落在某边上」求线段长 —— 翻折保边等角等，两次勾股或一组相似即可列方程。

◈ 破题口诀

「翻折就是照镜子，对应边等对应角等；左勾股右勾股，方程一列 CE 出」。求 BF 用 Rt△ABF，求 CE 用 Rt△ECF 或相似 △ABF∽△FCE。