初中数学 · 动态几何实验室

蚂蚁爬行模型

± 调整长宽高 —— 三条候选路线实时比较：合并两短边者永远最短

min = √((两短边和)² + 最长边²) 摊平相邻两面 ⟹ 三种展开取最小

模型同源真题 2024·海南海口 ★★★☆☆

如图，长方体的长、宽、高分别为 3、4、24。一只蚂蚁从一个顶点出发，沿长方体表面爬到相对的顶点，最短路程 = ______。

实验台 · 长方体表面的最短蚂蚁路径

± 调整长宽高 —— 三条候选路线实时重算，加粗发光、带流动虚线的那条永远最短（合并两短边）

a（深）3b（宽）4c（高）2

◈ 实时观测

路线① √((a+b)² + c²)—

路线② √((a+c)² + b²)—

路线③ √((b+c)² + a²)—

最短 = 合并两短边—

把两个最短边合并展开，路线最短 ✓

min = √((a+b)² + c²)（a ≤ b ≤ c）

三种展开只差交叉项 2ab、2ac、2bc —— 合并的两边乘积越小，结果越小 ⟹ 永远合并两条最短边

口诀：蚂蚁爬盒选最短，相邻两面先摊展；三种摊法比一比，两短合并是答案

拓展 · 三种展开图并排比较

每个矩形都是「两个相邻面摊平」—— 对角线就是候选路径；高亮的是当前最短

◈ 实时观测

路线①² = (a+b)²+c²—

路线②² = (a+c)²+b²—

路线③² = (b+c)²+a²—

公共部分 a²+b²+c²—

交叉项差 = 2·(合并边积差)—

平方 = a²+b²+c² + 2·(合并两边之积) —— 乘积小者胜 ✓

比平方即可：交叉项定胜负

(x+y)²+z² = (x²+y²+z²) + 2xy —— 三条路线共享 a²+b²+c²，差别只在「合并那两条边的乘积」

口诀：不用开方比平方，交叉乘积定短长

中考真题（冲刺）

围绕「蚂蚁爬行：摊平相邻两面，三种展开取最短」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题核心思想 ★★☆☆☆

2026·山东青岛

求长方体表面两点间最短路径的核心思想是（　）

A．把相邻两个面展开摊平，化曲面/折面路径为平面直线

B．直接用空间勾股定理

C．作对称点

D．用相似三角形

答案：A

表面上「两点之间线段最短」不直接成立 —— 先把两个面摊成同一平面，直线段即最短路径。注意有三种摊法，要取最小。

第 2 关填空题直接计算 ★★☆☆☆

2026·山东青岛

长方体长宽高为 3、4、5，蚂蚁从顶点 A 沿表面爬到对角顶点 B，最短路径的平方 = ______。

答案：74

三种摊法：(3+4)²+5² = 74；(3+5)²+4² = 80；(4+5)²+3² = 90。最小 = 74（合并两短边 3、4）。

第 3 关填空题直接计算 ★★★☆☆

2026·山东青岛

长方体长宽高为 2、3、6，蚂蚁沿表面的最短路径平方 = ______。

答案：61

(2+3)²+6² = 25+36 = 61；另两种：(2+6)²+3² = 73、(3+6)²+2² = 85。最小 61。

第 4 关填空题正方体特例 ★★☆☆☆

2026·山东青岛

棱长为 2 的正方体，蚂蚁从顶点沿表面爬到对角顶点，最短路径平方 = ______。

答案：20

(2+2)² + 2² = 16+4 = 20（三种摊法相同）。路径长 = 2√5。

第 5 关单选题规律识别 ★★★☆☆

2026·山东青岛

三种展开方式中，最短路径一定来自（　）

A．把两条最短边合并的展开

B．把两条最长边合并的展开

C．把最长与最短边合并的展开

D．不一定，要逐个算

答案：A（合并两条最短边）

路线² = (a²+b²+c²) + 2·(合并两边之积)。公共部分相同，乘积最小者胜 —— 两短边之积必然最小，是「一定」而非「逐个算」。

第 6 关填空题逆向求值 ★★★★☆

2026·山东青岛

长方体长宽高为 1、2、4，蚂蚁沿表面的最短路径长 = ______（这次是整数，直接填路径长）。

答案：5

三种摊法：(1+2)²+4² = 25、(1+4)²+2² = 29、(2+4)²+1² = 37。最小 = 25 ⟹ 路径长 = √25 = 5。