初中数学 · 动态几何实验室
弦图模型
拖动直线 l 绕 A 旋转 —— 一线三垂直，双垂必出全等
△ADE ≌ △BAF
—— DE = AF，AE = BF
① 实验台（基础）
② 赵爽弦图（拓展）
③ 中考真题（冲刺）
模型同源真题
2024·广西南宁
★★★☆☆
如图，正方形
ABCD
中，直线
l
经过顶点
A
，过点
D
作
DE
⊥
l
于点
E
，过点
B
作
BF
⊥
l
于点
F
。若
DE
= 3，
AE
= 5，则
BF
= ______。
实验台 · 一线三垂直：正方形过顶点的直线 ⟹ 双垂全等
拖动金色控制点旋转直线 l —— 盯住 DE 与 AF、AE 与 BF：两对线段永远分别相等
⇄ 拖 动 我
DE=3，AE=5 ▸
↺ 重置
全等着色
▶ 自动演示
🎬 推导动态解读
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✕ 退出
◈ 实时观测
DE（D 到 l 距离）
—
AF
—
AE
—
BF（B 到 l 距离）
—
同角的余角出等角，AAS 全等
DE = AF，AE = BF
直线绕 A 怎么转，△ADE 与 △BAF 永远全等
口诀：一线三垂直，双垂出全等
拓展 · 赵爽弦图：大正方形 = 4 个直角三角形 + 小正方形
拖动金色控制点改变 a : b —— 盯住面积账：c² = 4×(ab/2) + (a−b)² = a² + b²
a : b
1 : 2
3 : 4
3 : 4.5
接近相等
↺ 重置
◈ 实时观测
大正方形 c²
—
4 × 三角形 = 2ab
—
小正方形 (a−b)²
—
2ab + (a−b)²
—
a² + b²
—
四块全等三角形 + 中间小正方形
◈ 勾股定理的弦图证明
大正方形边长 = 斜边
c
⟹ 面积 c²
= 4 个全等直角三角形 + 中间小正方形
= 4×(ab/2) + (a−b)² = 2ab + a² − 2ab + b²
∴ c² = a² + b² ✓ —— 勾股定理！
c² = 2ab + (a−b)² = a² + b²
大正方形两种算法：c² = 2ab + (a−b)² = a² + b²
口诀：弦图一拼，勾股自明
中考真题（冲刺）
围绕「一线三垂直全等 + 赵爽弦图证勾股」· 做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关
概念理解
全等识别
★★☆☆☆
2024·四川宜宾
正方形
ABCD
，直线
l
过
A
，
DE
⊥
l
于
E
，
BF
⊥
l
于
F
。则全等的一对是（ ）
A．△ADE ≌ △BAF
B．△ADE ≌ △ABF
C．△ADE ∽ △BAF 但不全等
D．△DEF ≌ △BFE
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：A
AD
=
AB
（正方形边），∠
DEA
= ∠
AFB
= 90°，∠
DAE
= ∠
ABF
（同角的余角）⟹ AAS 全等。
第 2 关
填空题
三垂直求边
★★★☆☆
2024·四川宜宾
正方形
ABCD
中直线
l
过
A
，
DE
⊥
l
、
BF
⊥
l
，
DE
= 3，
AE
= 5，则
BF
= ______。
A
B
C
D
E
F
DE=3
BF=?
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：5
△
ADE
≌ △
BAF
⟹
BF
=
AE
= 5（
DE
=
AF
= 3）。
第 3 关
填空题
弦图面积
★★★☆☆
2024·四川宜宾
赵爽弦图中，直角三角形两直角边
a
= 2、
b
= 3，则大正方形的面积 = ______。
A
B
C
D
小正方形
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：13
大正方形面积 =
c
² =
a
²+
b
² = 4+9 = 13。（顺带：中间小正方形边长 = |2−3| = 1）
第 4 关
填空题
反用弦图
★★★☆☆
2024·四川宜宾
赵爽弦图的大正方形面积为 25，四个直角三角形面积之和为 16，则中间小正方形的面积 = ______。
A
B
C
D
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：9
小正方形 = 25−16 = 9（边长 = |
a
−
b
| = 3）。
第 5 关
判断说理
证明路线
★★★☆☆
2024·四川宜宾
用弦图证明勾股定理的核心等式是（ ）
A．c² = 4×(ab/2) + (a−b)²
B．c² = a² − b²
C．c = a + b
D．c² = 4ab
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：A
大正方形面积两种算法：边长
c
⟹
c
²；拆分 ⟹ 4 个三角形 + 小正方形 = 2
ab
+(
a
−
b
)² =
a
²+
b
²。
第 6 关
综合探究
三步推理
★★★★★
2024·四川宜宾
正方形
ABCD
边长
s
= 10，直线
l
过
A
且 cosθ = 0.8、sinθ = 0.6（θ 为
l
与
AB
的夹角），
DE
⊥
l
、
BF
⊥
l
。
(1)
DE
=
s
·cosθ = ______；
(2)
BF
=
s
·sinθ = ______；
(3)
EF
=
s
(cosθ−sinθ) = ______。
(1)
提交
(2)
提交
(3)
提交
查看答案与解析
答案：(1) 8 (2) 6 (3) 2
DE
= 10×0.8 = 8，
AE
=
BF
= 10×0.6 = 6，
AF
= 8 ⟹
EF
=
AF
−
AE
= 8−6 = 2（全等关系
DE
=
AF
、
AE
=
BF
同时验证 ✓）。
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