初中数学 · 动态几何实验室
将军饮马——三动点模型
D、E、F 三边滑动 —— 两次翻折拉成直线，垂足一落周长最小
周长 ≥
D′D″
=
2·AD·sin∠A
≥
2h·sin∠A
最优解 = 垂足三角形
① 实验台（基础）
② 垂足三角形（拓展）
③ 中考真题（冲刺）
模型同源真题
2024·甘肃兰州
★★★★★
如图，
△ABC
中，
AD
是
BC
边上的高，
AD
= 10，
∠A
= 30°。点
D
、
E
、
F
分别在
BC
、
AB
、
AC
上，则
△DEF
周长的最小值 = ______。
实验台 · 内接三角形周长最小
D、E、F 分别在三边上滑动 —— 翻折 D 得 D′、D″，周长 = 折线 D′→F→E→D″ ≥ D′D″
⇆ 拖 动 我
AD=10（∠A=30°）
⌖ 翻折辅助线
↺ 复位
⊙ 最优位置
▶ 自动演示
🎬 推导动态解读
‹ 上一步
⏸ 暂停
下一步 ›
✕ 退出
◈ 实时观测
当前周长 DE+EF+FD
—
D′D″（当前 D 的最小值）
—
2·AD·sin∠A
—
全局最小 = 2·h·sin∠A
—
拖动 D、E、F 寻找最小周长…
周长 ≥ D′D″ = 2·AD·sin∠A ≥ 2·h·sin∠A
两次翻折把三条边"拉直"；AD′ = AD = AD″ 且 ∠D′AD″ = 2∠A ⟹ AD 最小时最优 —— D 是垂足，最优解为垂足三角形
口诀：三动点里翻两番，折线拉成一条线；腰等角倍正弦算，垂足一落周长现
拓展 · 最优解 = 垂足三角形（光的反射回路）
拖动 A 改变三角形 —— 盯住每个顶点处的两个角：光线在镜面上的「入射角 = 反射角」
✥ 拖 动 我
▶ 自动演示
↺ 复位
⌖ 三条高线
◈ 实时观测
∠FDB 与 ∠EDC（D 处）
—
∠DEC 与 ∠FEA（E 处）
—
∠AFE 与 ∠DFB（F 处）
—
垂足三角形周长
—
2·h·sin∠A
—
每个顶点处入射角 = 反射角 ⟹ 光沿垂足三角形永远循环 ✓
垂足三角形 = 最短内接三角形 = 光线回路
物理直觉：周长最小 ⟺ 光在边上镜面反射能循环 ⟺ 入射角 = 反射角 ⟺ 恰好是三条高的垂足连成的三角形
口诀：光走最短不绕弯，入射反射角一般；三高三足连成环，周长最小就是它
中考真题（冲刺）
围绕「三动点：两次翻折拉直，垂足三角形周长最小」· 做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关
单选题
模型构造
★★☆☆☆
2023·安徽
D
在
BC
上、
E
在
CA
上、
F
在
AB
上。把
D
分别关于
AB
、
AC
翻折到
D
′、
D
″，则 △
DEF
的周长等于（ ）
D'
D''
A
B
C
D
E
F
A．折线 D′→F→E→D″ 的长
B．线段 D′D″ 的长
C．2·AD
D．AD′+AD″
提交
查看答案与解析
去实验台验证 →
答案：A（折线 D′→F→E→D″）
翻折 ⟹
DF
=
D
′
F
，
DE
=
D
″
E
⟹ 周长 =
D
′
F
+
FE
+
ED
″ —— 是一条折线，它 ≥ 线段
D
′
D
″，取等时折线变直。
第 2 关
填空题
公式应用
★★★☆☆
2023·安徽
锐角△
ABC
中 ∠
A
= 30°，
D
是
BC
上一点且
AD
= 5。当
E
、
F
取最优位置时，△
DEF
的周长 = ______。
D'
D''
A
B
C
D
E
F
5
∠A=30°
提交
查看答案与解析
答案：5
周长最小 =
D
′
D
″ = 2·
AD
·sin∠
A
= 2×5×sin30° = 5。（
AD
′=
AD
″=
AD
，夹角 2∠
A
=60° ⟹ △
AD
′
D
″ 等边）
第 3 关
填空题
全局最小
★★★☆☆
2023·安徽
锐角△
ABC
中 ∠
A
= 30°，
A
到
BC
的距离（高）为 6，则内接三角形
DEF
周长的最小值 = ______。
D'
D''
A
B
C
D
E
F
提交
查看答案与解析
答案：6
周长 ≥ 2·
AD
·sin∠
A
≥ 2·
h
·sin∠
A
= 2×6×0.5 = 6 —— 当
AD
⊥
BC
（
D
为垂足）时取到。
第 4 关
填空题
等边特例
★★★★☆
2023·安徽
等边△
ABC
的边长为 6，则其内接三角形周长的最小值 = ______。
D'
D''
A
B
C
D
E
F
提交
查看答案与解析
答案：9
高
h
= 3
√
3
，∠
A
= 60°：min = 2×3
√
3
×sin60° = 2×3
√
3
×(
√
3
/2) = 9。（此时垂足三角形也是中点三角形，周长 = 原周长一半）
第 5 关
单选题
最优形态
★★★☆☆
2023·安徽
锐角三角形中，周长最小的内接三角形 △
DEF
的三个顶点是（ ）
A
B
C
D
E
F
A．三边的中点
B．三条高的垂足
C．三条角平分线与对边的交点
D．内心到三边的投影以外的任意点
提交
查看答案与解析
去拓展页验证 →
答案：B（三条高的垂足）
这就是著名的「垂足三角形」（最短内接三角形的解）。⚠️ 只有等边三角形时中点三角形才与垂足三角形重合 —— 一般三角形两者不同！
第 6 关
证明题
公式推导
★★★★☆
2023·安徽
如图，
D
′、
D
″ 是
D
关于
AB
、
AC
的对称点。
求证：
D
′
D
″ = 2·
AD
·sin∠
BAC
。
D'
D''
A
B
C
D
E
F
AD
📝 我已完成证明，标记通关
查看答案与解析
证明
由对称：
AD
′ =
AD
=
AD
″，且 ∠
D
′
AB
= ∠
DAB
、∠
D
″
AC
= ∠
DAC
⟹ ∠
D
′
AD
″ = 2∠
BAC
。等腰△
AD
′
D
″ 中，底边
D
′
D
″ = 2·
AD
′·sin(∠
D
′
AD
″/2) = 2·
AD
·sin∠
BAC
。证毕。
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