初中数学 · 动态几何实验室

将军饮马——两定点一定长模型

拖动桥 E′F′ 沿河滑动（垂直河岸）—— 平移消定长，三点共线取最小

min = C′D + d C′ = C 沿垂直河岸平移 d ｜同侧先翻折｜拓展：造桥选址

模型同源真题 2024·辽宁大连 ★★★★☆

如图，C、D 在河的两岸，河宽为 d = 3，桥 E′F′ 的长度恒等于 d 且可沿河平移。把 C 沿垂直河岸方向平移 d 到 C′，若 C′D = 12，则 CE′ + E′F′ + F′D 的最小值 = ______。

实验台 · 可滑动的定长桥 E′F′（垂直河岸）

拖动桥 E′F′ 沿河滑动 —— 拖到绿色幽灵处总和最小；可拖 C、D，切换 C、D 异/同侧

◈ 实时观测

CE′—

E′F′（定长 d）—

F′D—

CE′ + E′F′ + F′D—

最小值 = C′D + d—

拖动 E′ 寻找最小值…

min(CE′ + E′F′ + F′D) = C′D + d

把 C 沿垂直河岸方向平移 d 到 C′ ⟹ CE′ = C′F′（平行四边形）⟹ 三段和 = C′F′ + F′D + d ≥ C′D + d —— 同侧先翻折

口诀：定长桥上滑，先把 C 搬家；平移一个 d，三点共线佳；同侧莫忘记，翻折再相加

拓展 · 造桥选址：桥 MN 垂直河岸、长为河宽

拖动 M（N 同步，MN⊥河岸且定长）—— 把 A 向河对岸平移一个河宽得 A′，A′N = AM，总和 ≥ A′B + 河宽

◈ 实时观测

AM—

MN（河宽 w）—

NB—

AM + MN + NB—

最小值 = A′B + w—

AM = A′N ⟹ 化折为直 ✓

min = A′B + w（A′ = A 平移一个河宽）

桥长固定 ⟹ 把 A 垂直河岸平移 w 到 A′：AM = A′N 恒成立 ⟹ AM + MN + NB = A′N + NB + w ≥ A′B + w

口诀：河宽改不了，平移消掉它；剩下两段路，拉直就是家

中考真题（冲刺）

围绕「两定点一定长：平移消定长，三点共线取最小」· 做完先在实验台拖一拖验证

🏆 通关进度：0 / 6

第 1 关单选题模型构造 ★★☆☆☆

2023·辽宁盘锦

求 CE′ + E′F′ + F′D（E′F′ = d 为定长）的最小值，关键的辅助变换是（　）

A．把 C 沿直线方向平移 d 到 C′

B．把 C 关于直线翻折

C．直接连接 CD

D．作 C 到直线的垂线

答案：A

平移后 CE′F′C′ 是平行四边形 ⟹ CE′ = C′F′，定长 d 被「消」出最值式：总和 = C′F′ + F′D + d ≥ C′D + d。（同侧时才需要翻折）

第 2 关填空题异侧情形 ★★☆☆☆

2023·辽宁盘锦

C、D 在直线 l 异侧，定长 d = 2。平移后量得 C′D = 5，则 CE′ + E′F′ + F′D 的最小值 = ______。

答案：7

min = C′D + d = 5 + 2 = 7。F′ 为 C′D 与 l 的交点。

第 3 关填空题造桥选址 ★★★☆☆

2023·辽宁盘锦

河宽 w = 3，桥 MN 垂直两岸。平移后量得 A′B = 10，则 AM + MN + NB 的最小值 = ______。

答案：13

AM = A′N（平移一个河宽）⟹ 总和 = A′N + NB + w ≥ A′B + w = 10 + 3 = 13。

第 4 关填空题同侧情形 ★★★☆☆

2023·辽宁盘锦

C、D 在直线 l 同侧，定长 d = 1.5。平移 C 得 C′、翻折 D 得 D″ 后量得 C′D″ = 8，则三段和的最小值 = ______。

答案：9.5

同侧：先平移消定长、再翻折化异侧 ⟹ min = C′D″ + d = 8 + 1.5 = 9.5。

第 5 关填空题坐标计算 ★★★★☆

2023·辽宁盘锦

直线 l 为 x 轴，点 C(0, 0) 在轴上，D(9, 8) 在轴上方，定长线段 E′F′ = 3 在轴上滑动（E′ 在 F′ 左侧）。则 CE′ + E′F′ + F′D 的最小值 = ______。

答案：13

C′ = C 沿轴向右平移 3 ⟹ C′(3, 0)；C′D = √(6² + 8²) = 10 ⟹ min = 10 + 3 = 13。

第 6 关单选题同侧原理 ★★★☆☆

2023·辽宁盘锦

C、D 在直线同侧时，为什么平移之后还要把 D 翻折到 D″？（　）

A．让 C′、D″ 分居直线两侧，才能用「两点之间线段最短」

B．为了缩短 C′D

C．为了让 E′F′ 消失

D．习惯做法，没有实质作用

答案：A

翻折后 F′D = F′D″（F′ 在对称轴上），且 C′、D″ 分居直线两侧 ⟹ 折线 C′→F′→D″ 的最小值是直线段 C′D″，交点即最优 F′。