中考真题（冲刺）
以下 6 题均来自 2024 年各地中考数学真题（将军饮马·两点两线：两定点 + 两直线），做完先在实验台拖一拖验证
🏆 通关进度：0 / 6
第 1 关
单选题
2024 内江
★★★★★
2024·内江
如图，在 △ABC 中，AB = AC = 5，BC = 8，I 是 △ABC 的内心，AI 的延长线交 BC 于点 D，P 是 AB 上一动点，连接 PI、PC，则 PI + PC 的最小值为（ ）
答案：B（2√13）
在 AB 上取点 F 使 BF = BE（构造对称），由 BI 平分 ∠B 证 △BFP ≌ △BEP ⇒ PF = PI，于是 PI + PC = PF + PC ≥ CF。Rt△中 CH = 7、FH = √3，CF = √(7²+3) = √52 = 2√13。⚠️ 易错：直接套「垂线段最短」而忽略内心对称构造。
第 2 关
填空题
2024 泸州
★★★☆☆
2024·内江
如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、BC 上的动点，且满足 AE = BF，AF 与 DE 交于点 O，点 M 是 DF 的中点，G 是边 AB 上的点，AG = 2GB，则 OM + FG 的最小值为 ______。
答案：5
△ADE ≌ △BAF ⇒ ∠AOD = 90°，M 是 DF 中点 ⇒ OM = ½DF。取 BH = BG，证 △BFG ≌ △BFH ⇒ FG = FH，OM + FG ≥ ½DH。BG = 2、AH = 8，DH = √(6²+8²) = 10，故最小值 = 5。⚠️ 易错：漏掉「½」答成 10。
第 3 关
说理题
中考说理题型
★★★★☆
2024·内江
如图，A′ 是 A 关于直线 l 的对称点，P 是 l 上任意一点，B 是直线 l 异侧一点。请说明：为什么 AP + PB 的最小值等于线段 A′B 的长？
说明（对称 ⟺ 折线与线段互化）
① ∵ A′ 是 A 关于 l 的对称点，P 在 l 上，∴ l 垂直平分 AA′ ⇒ AP = A′P。② ∴ AP + PB = A′P + PB ≥ A′B（两点之间，线段最短），当且仅当 A′、P、B 共线时取等号。⚠️ 易错：只说「对称」不说「为什么能换成线段」。
第 4 关
单选题
2024 绥化
★★★★☆
2024·内江
如图，已知 ∠AOB = 50°，点 P 为 ∠AOB 内部一点，点 M 为射线 OA、点 N 为射线 OB 上的两个动点，当 △PMN 的周长最小时，则 ∠MPN 的度数为（ ）
答案：B（80°）
作 P 关于 OA、OB 的对称点 P₁、P₂，△PMN 周长最短 = P₁P₂。∠P₁OP₂ = 2∠AOB = 100°，等腰 △P₁OP₂ 底角 40°，故 ∠MPN = 80°。⚠️ 易错：把 ∠MPN 当成 100°（那是顶角）。
第 5 关
单选题
2024 凉山
★★★☆☆
2024·内江
如图，在菱形 ABCD 中，∠B = 60°，AB = 2，E 是 BC 边上的动点，AE 的垂直平分线交 AB 于点 M、交 AE 于点 N，连接 BN。当 E 运动时，BN 的最小值为（ ）
答案：B（√3）
AE 垂直平分线 ⇒ NA = NE。当 A、N、F 共线时 BN 最小 = 点 B 到该线距离 = 菱形高 = 2·sin60° = √3。⚠️ 易错：把最小值当成对角线长 2。
第 6 关
单选题
2024 大庆
★★★★☆
2024·内江
如图，在矩形 ABCD 中，AB = 10，BC = 6，点 M 是 AB 边的中点，点 N 是 AD 边上任意一点，将线段 MN 绕点 M 顺时针旋转 90° 到点 N′，连接 BN′，则 △MBN′ 周长的最小值为（ ）
答案：B（5+5√5）
N′ 在平行于 AB、距 AB 为 5 的直线上运动。作 M 的对称点 M′，周长最小 = BM + BM′ = 5 + √(5²+10²) = 5+5√5。⚠️ 易错：漏掉 BM=5。